#数学竞赛##数论# 更简单简洁版本
整数n>1恰好有k个不同的素因子，证明n的所有正约数之和整除(2n-k)!。

证明：

设n的素因子分解式为
n=∏(pi^di) (2<=p1=1)
k-1为下标

pi为不相等的素数，显然有pi>=2，n>=pk>k。（1）

如果k=1，n/pi^di=1，n/pi^di-k>=0
如果k>1，n/pi^di>=p(k-1)>=k k-1为下标。
所以有n/pi^di-k>=0 (2)

显然n的正约数之和 f(n) =∏(pi^(di+1)-1)/(pi-1)。

设F(n) =∏n/pi^di*(pi^(di+1)-1)/(pi-1)。 (3)
显然f(n)整除F(n)。

i<>j ，
n/pi^di*(pi^(di+1)-1)/(pi-1) ==0 mod pj
n/pj^dj*(pj^(dj+1)-1)/(pj-1) <> 0 mod pj
所以(3)的乘积中任意两项不相等。

下面再证明(3)中每一项<=2n-k （4）
(pi-1)((2n-k)-n/pi^di*(pi^(di+1)-1)/(pi-1))
=2n*pi-2n-k*pi+k-(n*pi-n/pi^di)
=n*pi-2n-k*pi+2k+n/pi^di-k
=(n-k)(pi-2)+(n/pi^di-k)
>=0 (1) (2)结果。

所以（4）成立。

(3)中每一项不相同，每一项都小于等于2n-k，显然F(n)整除（2n-k)!。
f(n)又整除F(n)，所以n的正约数之和f(n)整除(2n-k)!，得证。

也看出2n-k这个界限非常宽。

百字明咒注音：南无金刚萨埵菩萨摩诃萨

om │ ban-ze^re sa-due-sa-ma-ya │ ma-nu-ba-la-ya │

唵 │ 班 杂 萨 埵 萨 玛 雅│ 玛 努 巴 拉 雅│

ben-ze^re-sa-due-dei-no-ba-di-chan-zhi-duo-mei-ba-wa │

班 　杂 萨 埵 得 诺 巴 地 茶 智 多 美 巴 瓦 │

su-duo-ka^yo-mei-ba-wa │ su-bo-ka^y ​​​

M03.02卍尊胜fo顶大心陀罗尼 (fo顶尊胜大心陀罗尼)卍
namaḥ sarva tathā gato ṣṇīṣāya trailokya adhiṣṭhite sarva tathā gata hṛdaya adhiṣṭhite svāhā
那吗赫 萨ra哇 它它哈~ 嘎头 岁内~萨~呀 太rai娄卡呀 阿di黑岁忒黑梯衣 萨ra哇 它它哈~ 嘎它 黑瑞打呀 阿di黑岁忒黑梯衣 萨哇~哈~
——房山石jing第28册《释教最上乘秘密藏陀罗集》卷三第2咒。
——《房山明咒集》L1.215.21-L1.218.4，L4.40。
——fo言若诵此陀罗尼fa。于其fo前先取净土。作坛随其大小。方四角作。以种种草华散于坛上。烧众名香。右膝着地胡跪。心常念fo。作慕陀罗尼印。屈其头指以大母指。押合掌。当其心上。诵此陀罗尼一百八遍讫。于其坛中如云王雨华。能遍供养八十八俱胝殑伽沙那庾多百千诸fo。彼fo世尊咸共赞言。善哉希有真是fo子。即得无障碍智三昧。得大菩.提心庄严三昧。持此陀罗尼fa应如是。fo告天帝我以此方便。一切众生应堕地狱道令得解脱。一切恶道亦得清净。复令持者增益寿命。《No. 0967 fo顶尊胜陀罗尼jing》