#数学##概率##期望##数学竞赛##数学挑战#
网友投稿询问一道题，觉得很有意思，其实这是一个马尔科夫问题。马尔科夫解法更通用，但是很复杂以及没有考虑到一般的转移概率分布的一些特性。这解法更初等一般人更容易看明白，特别是对于正多面体得到回到原点的解，异常简单。
一蚂蚁沿着简单多面体（或者平面连通图）的边爬行，若到达一顶点，则平均随机选连接这个顶点的一边继续爬，包含爬过来的边。
蚂蚁最开始从某顶点O出发，随机乱爬，若路径碰巧返回到O点，就停止爬行。
问蚂蚁爬行全程经过顶点次数的数学期望值？出发和终止O点只算一次，中间只要经过一次顶点就算一次，或者相当于每条边都算距离1，计算爬行的长度的期望值。
解：
假设从某点A出发，第n步到达O点的概率为pn，那么期望值f(0)= ∑pn*n，封闭联通图，最终所有都会到达终点，有∑pn*=1。
如果已经m步到达A再出发，那么到达O点的步数都延后m步，所以期望值
f(m)= ∑pn*(n+m)= ∑pn*n+ ∑pn*m=m+f(0) (1)
显然期望值对于起点步数线性。如果没有这一步直接得到（2）其实是有点缺乏严密性的，这一步很多直接用但是这一步不是太显然。
O点标记为第一点。设平面图顶点An出发到顶点O的距离期望值是an，顶点An的边是bn，O点出发再到O点的长度期望值是x。
对于O点a1=0
对于点其它An有：
an=1/bn* ∑fk(1)=1+1/bn*∑ak，(2）所有和An相连的顶点求和。
有了（1），得到（2）更好理解。
x=1+1/b1*∑ak。
求解方程就得到任意点出发到达O的路径期望值了。对于x还相当好求。
变形一下几个等式：
a1=0
bn*an=bn+∑ak (3)
b1*x=b1+∑ak
所有等式相加，除了未知数x以外，其它未知数抵消，
b1*x=∑bn=2E ，E为连通图的边。
x=2E/b1
如果是正多面体，会有很简化的结果，得到，x=n。
没想到问题结果是这么简单漂亮。现实正多面体只有简单的几个，其实连通图还有更多形式的正多面体，连通图的“正多面体”只要是每个点都是相同的边就行。
没理解方程的可以对照下图更好理解，下图A点就是O点。
第一次发的没有错，只是把a1没有独立出来直接当成x，为了照顾和O连通的点，构造了一个cn，比较麻烦以及没那么容易理解。还有没有推导（1），直接得到（3）的另外一个表达式，不太容易理解。
网友投稿询问一道题，觉得很有意思，其实这是一个马尔科夫问题。马尔科夫解法更通用，但是很复杂以及没有考虑到一般的转移概率分布的一些特性。这解法更初等一般人更容易看明白，特别是对于正多面体得到回到原点的解，异常简单。
一蚂蚁沿着简单多面体（或者平面连通图）的边爬行，若到达一顶点，则平均随机选连接这个顶点的一边继续爬，包含爬过来的边。
蚂蚁最开始从某顶点O出发，随机乱爬，若路径碰巧返回到O点，就停止爬行。
问蚂蚁爬行全程经过顶点次数的数学期望值？出发和终止O点只算一次，中间只要经过一次顶点就算一次，或者相当于每条边都算距离1，计算爬行的长度的期望值。
解：
假设从某点A出发，第n步到达O点的概率为pn，那么期望值f(0)= ∑pn*n，封闭联通图，最终所有都会到达终点，有∑pn*=1。
如果已经m步到达A再出发，那么到达O点的步数都延后m步，所以期望值
f(m)= ∑pn*(n+m)= ∑pn*n+ ∑pn*m=m+f(0) (1)
显然期望值对于起点步数线性。如果没有这一步直接得到（2）其实是有点缺乏严密性的，这一步很多直接用但是这一步不是太显然。
O点标记为第一点。设平面图顶点An出发到顶点O的距离期望值是an，顶点An的边是bn，O点出发再到O点的长度期望值是x。
对于O点a1=0
对于点其它An有：
an=1/bn* ∑fk(1)=1+1/bn*∑ak，(2）所有和An相连的顶点求和。
有了（1），得到（2）更好理解。
x=1+1/b1*∑ak。
求解方程就得到任意点出发到达O的路径期望值了。对于x还相当好求。
变形一下几个等式：
a1=0
bn*an=bn+∑ak (3)
b1*x=b1+∑ak
所有等式相加，除了未知数x以外，其它未知数抵消，
b1*x=∑bn=2E ，E为连通图的边。
x=2E/b1
如果是正多面体，会有很简化的结果，得到，x=n。
没想到问题结果是这么简单漂亮。现实正多面体只有简单的几个，其实连通图还有更多形式的正多面体，连通图的“正多面体”只要是每个点都是相同的边就行。
没理解方程的可以对照下图更好理解，下图A点就是O点。
第一次发的没有错，只是把a1没有独立出来直接当成x，为了照顾和O连通的点，构造了一个cn，比较麻烦以及没那么容易理解。还有没有推导（1），直接得到（3）的另外一个表达式，不太容易理解。
河南郑州，老板拒绝给十几名店员发工资，想要工资也可以，提出了条件，一起跪下给她磕个头求她，只有这样她才会考虑发不发，拒发工资的理由竟然是店里赔了钱，要用店员的工资来贴补亏损！
一家倒闭的火锅店外围了十几个人，都是之前火锅店的店员，为的都只有一件事，找杨女士要工资，每个人都被拖欠了半年多的工资，加起来有40多万，几个月来，每天都追着杨女士讨要，但是她就是一个态度，不肯发。
店员们说，之前拖欠工资时说的是店里现在没钱，等赚了钱再发，他们想辞职也可以，谁辞职工资就填补亏损，他们也不敢辞职，就一直干到了店倒闭，关门时杨女士说店里亏损，工资全部填补亏空了，一概不发。
只有洗碗的大姐发了900块钱，她儿子出了车祸，家中急需用钱，求了杨女士很长时间，杨女士才给了她900块钱让她回家，提到这事儿她就哭了出来，她都急得给杨女士跪下磕头了，杨女士都不给她发工资。
一行人在杨女士的办公室找到了她，对于自己不发工资，已经影响到店员生活这件事儿，她是这么说的：“我们现在火锅店已经停了好几个月了，现在发不上工资了你自己等死那怪谁呢”。
这可给店员们气坏了，她拖欠工资她还有理了，于是纷纷谴责杨女士，让她赶快将众人的工资给结算了，杨女士说：“发工资也可以，你们一起跪下来磕个头求我，我再考虑工资发不发”。
本来就在气头上的店员们更是怒火中烧，纷纷开始骂她，这种情况也可以理解，他们能克制住不动手我觉得已经是很能忍了，而因为火锅店犯难的还不止店员们，杨女士的合伙人也是愁的不行。
就在店员们在杨女士的办公室讨要工资时，杨女士的合伙人郑先生在厨房中割了腕，好在一名店员发现及时，郑先生只是昏迷了过去，还有着生命体征，赶快对他手腕的伤口包扎后送去抢救。
而杨女士对此依旧是无动于衷，不得不说，她的这颗心已经像石头一样冷冰冰的了，哪怕是捂热了，凉下去也只是一瞬间的事儿。
对于自己不发工资，她也有着自己的理由，店里的生意不好她有责任，店员也有责任，不是她一个人的问题，现在关门了，她和合伙人赔了钱，店员们的工资就贴补亏损中了，自己之前也说过，店里赚钱了再给他们发工资，现在没赚到钱没法发。
杨女士不管再理直气壮，有再多的理由，她的行为都是违反《劳动法》的，第五十条明确规定：工资应当以货币形式按月支付给劳动者本人。不得克扣或者无故拖欠劳动者的工资。
不管店里的经营状况如何，这与店员是没有任何关系的，他们只要做好自己的分内工作，干一天店里就要发一天的工资，既然开了店，就应当承担经营不善带来的亏损，用店员的工资来贴补亏损，于情于理于法都说不过去。
而店员们找杨女士一直闹，而杨女士就是耍无赖，这样下去也不是解决问题的办法，应当是申请劳动仲裁，或者是提起诉讼，即便是耍无赖拿到仲裁书或者判决书之后都能够申请强制执行。
《劳动法》第七十七条：用人单位与劳动者发生劳动争议，当事人可以依法申请调解、仲裁、提起诉讼，也可以协商解决。调解原则适用于仲裁和诉讼程序。
除了工资以外，杨女士拒发工资的行为侵害了店员们的权益，除了要求正常发放工资以外，还可以主张杨女士对他们进行赔偿。
第九十一条：克扣或者无故拖欠劳动者工资的由劳动行政部门责令支付劳动者的工资报酬、经济补偿，并可以责令支付赔偿金。
而如果杨女士被劳动部门或被判决支付工资，依然拒绝支付，那还将追究刑事责任，最高可以处以七年的有期徒刑。
《刑法》第二百七十六条之一：以转移财产、逃匿等方法逃避支付劳动者的劳动报酬或者有能力支付而不支付劳动者的劳动报酬，数额较大，经政府有关部门责令支付仍不支付的，处三年以下有期徒刑或者拘役，并处或者单处罚金；造成严重后果的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。
《拒不支付劳动报酬问题解释》第三条：
（一）拒不支付一名劳动者三个月以上的劳动报酬且数额在五千元至二万元以上的；
（二）拒不支付十名以上劳动者的劳动报酬且数额累计在三万元至十万元以上的。
据了解，她还经营有其他几家餐饮店，所以肯定是有支付店店员资的能力的，拖欠了十几个人的工资，累计达到了40多万元，不管从哪一条来看都构成了数额巨大，而且她的行为可不仅仅是数额巨大，还有着造成严重后果的情节。
第五条：拒不支付劳动者的劳动报酬，符合本解释第三条的规定，造成劳动者或者其被赡养人、被扶养人、被抚养人的基本生活受到严重影响、重大疾病无法及时医治或者失学的，应当认定为刑法第二百七十六条之一第一款规定的“造成严重后果”。
洗碗大姐家里的孩子出了车祸，等着急用钱，家里已经揭不开锅，不然的话谁又会愿意放下尊严想到下跪求人要工资呢。
最终店劳动部门介入了这件事，要求杨女士支付拖欠十几名店员的40多万元工资，杨女士依旧拒绝执行，最终被强制执行，并判了刑。
对于这件事儿你怎么看？（看案明法）
一家倒闭的火锅店外围了十几个人，都是之前火锅店的店员，为的都只有一件事，找杨女士要工资，每个人都被拖欠了半年多的工资，加起来有40多万，几个月来，每天都追着杨女士讨要，但是她就是一个态度，不肯发。
店员们说，之前拖欠工资时说的是店里现在没钱，等赚了钱再发，他们想辞职也可以，谁辞职工资就填补亏损，他们也不敢辞职，就一直干到了店倒闭，关门时杨女士说店里亏损，工资全部填补亏空了，一概不发。
只有洗碗的大姐发了900块钱，她儿子出了车祸，家中急需用钱，求了杨女士很长时间，杨女士才给了她900块钱让她回家，提到这事儿她就哭了出来，她都急得给杨女士跪下磕头了，杨女士都不给她发工资。
一行人在杨女士的办公室找到了她，对于自己不发工资，已经影响到店员生活这件事儿，她是这么说的：“我们现在火锅店已经停了好几个月了，现在发不上工资了你自己等死那怪谁呢”。
这可给店员们气坏了，她拖欠工资她还有理了，于是纷纷谴责杨女士，让她赶快将众人的工资给结算了，杨女士说：“发工资也可以，你们一起跪下来磕个头求我，我再考虑工资发不发”。
本来就在气头上的店员们更是怒火中烧，纷纷开始骂她，这种情况也可以理解，他们能克制住不动手我觉得已经是很能忍了，而因为火锅店犯难的还不止店员们，杨女士的合伙人也是愁的不行。
就在店员们在杨女士的办公室讨要工资时，杨女士的合伙人郑先生在厨房中割了腕，好在一名店员发现及时，郑先生只是昏迷了过去，还有着生命体征，赶快对他手腕的伤口包扎后送去抢救。
而杨女士对此依旧是无动于衷，不得不说，她的这颗心已经像石头一样冷冰冰的了，哪怕是捂热了，凉下去也只是一瞬间的事儿。
对于自己不发工资，她也有着自己的理由，店里的生意不好她有责任，店员也有责任，不是她一个人的问题，现在关门了，她和合伙人赔了钱，店员们的工资就贴补亏损中了，自己之前也说过，店里赚钱了再给他们发工资，现在没赚到钱没法发。
杨女士不管再理直气壮，有再多的理由，她的行为都是违反《劳动法》的，第五十条明确规定：工资应当以货币形式按月支付给劳动者本人。不得克扣或者无故拖欠劳动者的工资。
不管店里的经营状况如何，这与店员是没有任何关系的，他们只要做好自己的分内工作，干一天店里就要发一天的工资，既然开了店，就应当承担经营不善带来的亏损，用店员的工资来贴补亏损，于情于理于法都说不过去。
而店员们找杨女士一直闹，而杨女士就是耍无赖，这样下去也不是解决问题的办法，应当是申请劳动仲裁，或者是提起诉讼，即便是耍无赖拿到仲裁书或者判决书之后都能够申请强制执行。
《劳动法》第七十七条：用人单位与劳动者发生劳动争议，当事人可以依法申请调解、仲裁、提起诉讼，也可以协商解决。调解原则适用于仲裁和诉讼程序。
除了工资以外，杨女士拒发工资的行为侵害了店员们的权益，除了要求正常发放工资以外，还可以主张杨女士对他们进行赔偿。
第九十一条：克扣或者无故拖欠劳动者工资的由劳动行政部门责令支付劳动者的工资报酬、经济补偿，并可以责令支付赔偿金。
而如果杨女士被劳动部门或被判决支付工资，依然拒绝支付，那还将追究刑事责任，最高可以处以七年的有期徒刑。
《刑法》第二百七十六条之一：以转移财产、逃匿等方法逃避支付劳动者的劳动报酬或者有能力支付而不支付劳动者的劳动报酬，数额较大，经政府有关部门责令支付仍不支付的，处三年以下有期徒刑或者拘役，并处或者单处罚金；造成严重后果的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。
《拒不支付劳动报酬问题解释》第三条：
（一）拒不支付一名劳动者三个月以上的劳动报酬且数额在五千元至二万元以上的；
（二）拒不支付十名以上劳动者的劳动报酬且数额累计在三万元至十万元以上的。
据了解，她还经营有其他几家餐饮店，所以肯定是有支付店店员资的能力的，拖欠了十几个人的工资，累计达到了40多万元，不管从哪一条来看都构成了数额巨大，而且她的行为可不仅仅是数额巨大，还有着造成严重后果的情节。
第五条：拒不支付劳动者的劳动报酬，符合本解释第三条的规定，造成劳动者或者其被赡养人、被扶养人、被抚养人的基本生活受到严重影响、重大疾病无法及时医治或者失学的，应当认定为刑法第二百七十六条之一第一款规定的“造成严重后果”。
洗碗大姐家里的孩子出了车祸，等着急用钱，家里已经揭不开锅，不然的话谁又会愿意放下尊严想到下跪求人要工资呢。
最终店劳动部门介入了这件事，要求杨女士支付拖欠十几名店员的40多万元工资，杨女士依旧拒绝执行，最终被强制执行，并判了刑。
对于这件事儿你怎么看？（看案明法）
这两天早晨开始工作前都会写下爱因斯坦的能量公式：E=mc2（2是c的平方），在工作过程中感受到被某种探索精神支持着。工作间隙看《爱因斯坦传》中的宇宙引力，想到无形的感应力，即同气相应，每个人可能都具备这个能力：只要有至诚之心。
我是物理盲，但在爱因斯坦的宇宙引力中，发现人可以以无形的方式获得与他者链接的无限能量。
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