《叶军数学工作站》第215期问题研究A等价命题的证明
大罕
本文在邬天泉证明的基础上,作了详细说明和某些简化.这些简化,虽然不是本质的,但也是必要的.
【问题】已知非零实数a,b,c满足ab=b+c,①bc=c+a,②ca=a+b,③
试求(b/a)^6+(c/b)^6+(a/c)^6的值.
【解答】
由①-②、①-③、②-③得:
b(a-c)=b-a,
a(b-c)=c-a,
c(b-a)=c-b,
⇒abc(a-c)(b-c)(b-a)=(b-a)(c-a)(c-b),⇒abc=1.
以下约定符号:∑a=a+b+c,∑ab=ab+bc+ca,∑(b/a)=b/a+c/b+a/c,∑(a/b)=a/b+b/c+c/a,
①+②+③得 ∑ab=2∑a; ④
由①、②、③得
a-1=c/b,b-1=a/c,c-1=b/a,
⇒(a-1)(b-1)(c-1)=1,
⇒∑a=1+∑ab. ⑤
由④、⑤得 ∑a=-1,∑ab=-2.
又由①、②、③得
a=1+c/b,b=1+a/c,c=1+b/a,
⇒∑a=3+∑(b/a), ⇒∑(b/a)=-4,
再由①、②、③得
b=b/a+c/a,c=c/b+a/b,a=a/c+b/c,
∴∑(b/a)+∑(a/b)=∑a,
∴∑(a/b)=-1-(-4)=3.
∑(b^2)/(a^2)=(∑(b/a))^2-2∑ab
=(-4)^2-2×3=10,
且∑(a^2)/(b^2)=(∑(a/b))^2-2∑(b/a)
=3^2-2×(-4)=17,
∴∑(b^4)/(a^4)=[∑(b^2)/(a^2)]^2-2∑(a^2)/(b^2) =10^2-2×17=66,
利用公式x^3+y^3+z^3= (x^3+y^3+z^3-3xyz)+3xyz
=(x+y+z)[x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)]+3xyz,有
∴∑(b/a)^6=[∑(b^2)/(a^2)]^3=3(abc)^2+[∑(b^2)/(a^2)][∑(b^4)/(a^4)- ∑(b^2)/(a^2)]
=3+10×(66-17)=493.
(正规书写过程详见附图)
#高中数学##数学#
大罕
本文在邬天泉证明的基础上,作了详细说明和某些简化.这些简化,虽然不是本质的,但也是必要的.
【问题】已知非零实数a,b,c满足ab=b+c,①bc=c+a,②ca=a+b,③
试求(b/a)^6+(c/b)^6+(a/c)^6的值.
【解答】
由①-②、①-③、②-③得:
b(a-c)=b-a,
a(b-c)=c-a,
c(b-a)=c-b,
⇒abc(a-c)(b-c)(b-a)=(b-a)(c-a)(c-b),⇒abc=1.
以下约定符号:∑a=a+b+c,∑ab=ab+bc+ca,∑(b/a)=b/a+c/b+a/c,∑(a/b)=a/b+b/c+c/a,
①+②+③得 ∑ab=2∑a; ④
由①、②、③得
a-1=c/b,b-1=a/c,c-1=b/a,
⇒(a-1)(b-1)(c-1)=1,
⇒∑a=1+∑ab. ⑤
由④、⑤得 ∑a=-1,∑ab=-2.
又由①、②、③得
a=1+c/b,b=1+a/c,c=1+b/a,
⇒∑a=3+∑(b/a), ⇒∑(b/a)=-4,
再由①、②、③得
b=b/a+c/a,c=c/b+a/b,a=a/c+b/c,
∴∑(b/a)+∑(a/b)=∑a,
∴∑(a/b)=-1-(-4)=3.
∑(b^2)/(a^2)=(∑(b/a))^2-2∑ab
=(-4)^2-2×3=10,
且∑(a^2)/(b^2)=(∑(a/b))^2-2∑(b/a)
=3^2-2×(-4)=17,
∴∑(b^4)/(a^4)=[∑(b^2)/(a^2)]^2-2∑(a^2)/(b^2) =10^2-2×17=66,
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=(x+y+z)[x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)]+3xyz,有
∴∑(b/a)^6=[∑(b^2)/(a^2)]^3=3(abc)^2+[∑(b^2)/(a^2)][∑(b^4)/(a^4)- ∑(b^2)/(a^2)]
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1.胸部CT,头部CT
2.彩超:
甲状腺彩超
腹部彩超(肝胆脾胰)
乳腺彩超
双肾,膀胱,子宫附件彩超
颈部血管彩超
3.肿瘤标志物:
癌胚抗原CEA,甲胎蛋白AFP,糖类抗原CA125,糖类抗原CA153
4.妇科:
妇科内诊,白带常规,液基薄层细胞TCT,人类乳头瘤病毒HPV筛查
5.验血:肝功十项,肾功三项,血脂四项,血常规,空腹血糖
6.其他检查:骨密度,心电图,尿常规
7.常规检查:一般检查,内科,外科优惠,眼科,耳鼻喉科,口腔科
预约电话:13386807466 https://t.cn/AiDZcjLw
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#早安深圳#【新闻日历 | 11月6日 1年前的今天 “勇敢的雨燕”载誉归来】
2021年11月6日,随着 CA1303次航班稳稳落地深圳宝安国际机场,第八届全国道德模范张莹莹载誉归来。前一天,第八届全国道德模范座谈会在北京举行,张莹莹获评全国道德模范,入选的类别为全国助人为乐模范。
当年今日·深圳新闻
2021年 深圳市潮汕美食文化节启动
2020年 央地合作采购平台中资阳光揭牌启用
2013年 深圳再添4个留学人员创业园
https://t.cn/A6oRaYnU
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