关于实数
最近因为在思考时间体验方面的事，需要对实数进行进一步的思考，现在将其性质总结一下：
1 有限，可数，不可数
实数做为集合，它的元素的个数肯定是无限多个的，那是怎么样的无限呢？
事实上，如果像整数一样，能一个一个往下列出来，告诉别人说，整数就是这些:1,2,3,4...一直排下去，无穷无尽排下去。虽然呢，它是无限的，但起码能够告诉别人，可以这么数下去。这个呢就是可数无穷个。
另外，有理数的个数也是可数无穷，也是有办法告诉别人怎么数下去的，只要适当地将有理数稍微重排一下，也可以告诉别人说有理数就是这些：r1,r2,r3,r4....（如第一个图就是正有理数的重排后的列出）
当然，你会想难道不是所有无穷的集合都是可以这样告诉别人的吗？
这还真不一定，而比如0到1之间所有的实数就不能够这样排出来告诉别人。
可以用康托对角线论证法来反证（当然现在实分析书一般不用这种方法）。如第二个图所示，假设我们已经将所有实数一个个地向别人摆出来了，告诉别人说：“你看这就是所有实数了，这是s1,它的值等于0.2148....；这是s2,它的值是....你看，我能把它摆出来给你看诶！”
然后，康托说：“你等等，你来看看我根据你摆的数新构造的这个数，我称它为杠精数。它的第一位小数不等于s1的第一位，第二位小数不等于s2的第二位，第三位小数不等于s3的第三位，如此等等。”
康托接着说道：“你觉得这个杠精数在你这个数列里嘛？”
你想了想说：”好像不在诶！“
康托总结道：”所以实数是不能列出来的，不可列或不可数的。“
2 稠密性与连通性
整数显然不稠密，这很直观。而有理数是稠密的，因为似乎每个有理数旁边无穷近处都有另一个有理数，嗯，很密。
然而，有理数却是不完备的，而且似乎”支撑“不起长度，在测度理论里，所有有理数的总”长度“加起来居然为0！
如果有某种力量将所有有理数全部挤到数轴的某一个地方，将”空“的地方挤掉的话，它的”长度“为0。
这其实很反直观，既然有理数已经是稠密地站在数轴上了，为什么它们这么瘦呢？！占的总位置长度居然是0！其它人呢！去哪了？给我找出来。
这时，戴德金说：“你们可以用戴德金分割将这些藏着的无理数找出来，它们就像暗物质暗能量一样，占了大部分，却隐藏得很好。
简单地说，有理数不是连通的。而'连通'的一块奶酪，即便分拆成两块后，它们也有细丝连着，不能很干脆地分拆成两块。但整个有理数集却可以很干脆地分拆成两块，具体地说可以分拆成的两个不相交的开集。
而无理数就藏在这分拆的中间，它有点是连着它们的细丝。“
你此时有点明白了：”哦，原来实数才是连通的啊。“
最近因为在思考时间体验方面的事，需要对实数进行进一步的思考，现在将其性质总结一下：
1 有限，可数，不可数
实数做为集合，它的元素的个数肯定是无限多个的，那是怎么样的无限呢？
事实上，如果像整数一样，能一个一个往下列出来，告诉别人说，整数就是这些:1,2,3,4...一直排下去，无穷无尽排下去。虽然呢，它是无限的，但起码能够告诉别人，可以这么数下去。这个呢就是可数无穷个。
另外，有理数的个数也是可数无穷，也是有办法告诉别人怎么数下去的，只要适当地将有理数稍微重排一下，也可以告诉别人说有理数就是这些：r1,r2,r3,r4....（如第一个图就是正有理数的重排后的列出）
当然，你会想难道不是所有无穷的集合都是可以这样告诉别人的吗？
这还真不一定，而比如0到1之间所有的实数就不能够这样排出来告诉别人。
可以用康托对角线论证法来反证（当然现在实分析书一般不用这种方法）。如第二个图所示，假设我们已经将所有实数一个个地向别人摆出来了，告诉别人说：“你看这就是所有实数了，这是s1,它的值等于0.2148....；这是s2,它的值是....你看，我能把它摆出来给你看诶！”
然后，康托说：“你等等，你来看看我根据你摆的数新构造的这个数，我称它为杠精数。它的第一位小数不等于s1的第一位，第二位小数不等于s2的第二位，第三位小数不等于s3的第三位，如此等等。”
康托接着说道：“你觉得这个杠精数在你这个数列里嘛？”
你想了想说：”好像不在诶！“
康托总结道：”所以实数是不能列出来的，不可列或不可数的。“
2 稠密性与连通性
整数显然不稠密，这很直观。而有理数是稠密的，因为似乎每个有理数旁边无穷近处都有另一个有理数，嗯，很密。
然而，有理数却是不完备的，而且似乎”支撑“不起长度，在测度理论里，所有有理数的总”长度“加起来居然为0！
如果有某种力量将所有有理数全部挤到数轴的某一个地方，将”空“的地方挤掉的话，它的”长度“为0。
这其实很反直观，既然有理数已经是稠密地站在数轴上了，为什么它们这么瘦呢？！占的总位置长度居然是0！其它人呢！去哪了？给我找出来。
这时，戴德金说：“你们可以用戴德金分割将这些藏着的无理数找出来，它们就像暗物质暗能量一样，占了大部分，却隐藏得很好。
简单地说，有理数不是连通的。而'连通'的一块奶酪，即便分拆成两块后，它们也有细丝连着，不能很干脆地分拆成两块。但整个有理数集却可以很干脆地分拆成两块，具体地说可以分拆成的两个不相交的开集。
而无理数就藏在这分拆的中间，它有点是连着它们的细丝。“
你此时有点明白了：”哦，原来实数才是连通的啊。“
冥思苦想了半天睡不着，这道题终于有了思路，用1 XOR M1 =R1，如果M1=0，那结果就是1，这时候对M2用Rotate，d2是n=1，d3代入R1，那么结果就是M2向左移了一位，0001→0010，就是+1，；而M1=1时，R1为0，结果就是M2右移了一位，0001→0000，就是-1，再输出结果就对了。因为简单计算机代码没有结果检验的指令，所以这种特殊情况还能算得出来。
#罗永浩[超话]#两台纯白色手机修成了一前一后黑白双煞。
白色R1换电池的时候，发现背板也碎了，于是把白色背板换成了黑色。[裂开]
白色R2的屏幕碎了，在网上没找到白色的屏幕，问了好多家，一会说有，一会说没有，搞得我死去活来，最后，破釜沉舟，就用黑色的吧！又不是不行。格局一下子打开了，也挺好的。
最后……最后想问一下，白色R2的指纹校准怎么搞？换了屏幕以后，指纹用不了，听说要校准一下。
这修手机的师傅和我，也是遇到了技术瓶颈，搞不定，他跟我说，也他是身兼数职，一个人做淘宝客服，打包发货，财务收账，手机维修，以及在另一家单位上班，我当时就泪崩了，这不得年入过亿，走上人生巅峰，迎娶白富……喔喔，已经结婚了。那就算了。
最心痛的是，当时师傅他问了我一个问题，他说，上次你修的时候，你看到对方怎么弄得吗？
啊？对不起，我是客户，我就是自己搞不定才花钱请你修的嘛，你……你……你怎么能问我呢！
昨天！昨天南京下着雨，我打车过去送修，去的时候被滴滴舒服“狠狠地”教训了一顿，因为我是从左边车门上车的，然后没关紧门，需要重新拉开车门，再关一下，但我怎么都拉不开，滴滴师傅说，你怎么能从左边上车呢？你应该从右边啊，！我解释说，我正好在左边，所以……就从左边上的。他很不情愿的下车把门拉开又关紧了。(很奇怪，我为什么不能拉开呢？电动车都这样？不了解)，我又解释了几句，最后，他不想跟我废话，就说，下车从右边下！然后全程就没吱声了！
回去的时候，正好碰到下班高峰期堵车，这位滴滴师傅，心情特别烦躁，快到目的地的时候，我说，前面路口左转，再往前开一点，再开一点，可能我表述的他没理解还是，当时心情被堵车给搞崩溃了，所以……冲我吼，说，到底要人家怎样嘛！
下了车，我冲着下着大雨的天空嘶吼，
“干！修个手机容易吗我！” https://t.cn/RxBsCFp
白色R1换电池的时候，发现背板也碎了，于是把白色背板换成了黑色。[裂开]
白色R2的屏幕碎了，在网上没找到白色的屏幕，问了好多家，一会说有，一会说没有，搞得我死去活来，最后，破釜沉舟，就用黑色的吧！又不是不行。格局一下子打开了，也挺好的。
最后……最后想问一下，白色R2的指纹校准怎么搞？换了屏幕以后，指纹用不了，听说要校准一下。
这修手机的师傅和我，也是遇到了技术瓶颈，搞不定，他跟我说，也他是身兼数职，一个人做淘宝客服，打包发货，财务收账，手机维修，以及在另一家单位上班，我当时就泪崩了，这不得年入过亿，走上人生巅峰，迎娶白富……喔喔，已经结婚了。那就算了。
最心痛的是，当时师傅他问了我一个问题，他说，上次你修的时候，你看到对方怎么弄得吗？
啊？对不起，我是客户，我就是自己搞不定才花钱请你修的嘛，你……你……你怎么能问我呢！
昨天！昨天南京下着雨，我打车过去送修，去的时候被滴滴舒服“狠狠地”教训了一顿，因为我是从左边车门上车的，然后没关紧门，需要重新拉开车门，再关一下，但我怎么都拉不开，滴滴师傅说，你怎么能从左边上车呢？你应该从右边啊，！我解释说，我正好在左边，所以……就从左边上的。他很不情愿的下车把门拉开又关紧了。(很奇怪，我为什么不能拉开呢？电动车都这样？不了解)，我又解释了几句，最后，他不想跟我废话，就说，下车从右边下！然后全程就没吱声了！
回去的时候，正好碰到下班高峰期堵车，这位滴滴师傅，心情特别烦躁，快到目的地的时候，我说，前面路口左转，再往前开一点，再开一点，可能我表述的他没理解还是，当时心情被堵车给搞崩溃了，所以……冲我吼，说，到底要人家怎样嘛！
下了车，我冲着下着大雨的天空嘶吼，
“干！修个手机容易吗我！” https://t.cn/RxBsCFp
✋热门推荐