不知你是否认真想过下面这个问题：什么是根号二？
你可能会说，如果没有根号二，地球不照样转，我们的日子不也照样过吗？其实不然，至少在遥远的古希腊，有一群人的日子会过不好。
那是公元前 500 年前后，在爱琴海周边有一群有闲的智者，他们不事生产，终日思考宇宙的本质、生命的意义等各种大问题，毕达哥拉斯（Pythagoras）就是其中一员。
他及其门徒们认为“万物皆数”，即世间万物的和谐都能用数字来解释与描述。比如，当琴弦长度成简单整数比的时候，发出的和音最悦耳。
要注意，毕达哥拉斯他们所谈论的“数”，是如今所谓的自然数，即 1, 2, 3 这种我们打小会数的数。世间万物无外乎这些数以及它们的比例耳！这是一种信仰，支撑着毕达哥拉斯学派不断探索着自然。直到有一天，他们中的一员发现了一件不得了的事情。
这个发现来源于毕达哥拉斯学派另一个闻名于世的伟大成就，那就是西方所称的毕达哥拉斯定理（Pythagoras Theorem） ——也即我们的勾股定理：
若一个直角三角形的两直角边长度为 a 和 b，斜边长度为 c，那么：
如果我们画一个边长为 a = b = 1 的等腰直角三角形，按照上述公式一算，立马能得到
斜边长度的平方等于 2，这又咋了？
如果我是毕达哥拉斯，至此也不会怎样，估计会自言自语道：那就让我们来找到一个分数，其平方等于 2 呗！你可以试着找一找，或者相信我，很遗憾，这样的分数不存在。
断言：不存在一个分数，其平方等于2。（为了区别正式定义的数学中的“命题”与“定理”，我们称在直观理解下的一个或正确或错误的陈述为断言。）
正是这个断言，直接摧毁了毕达哥拉斯学派的整个信仰基础。
据说，发现这件事的学生被推入大海，其他门徒也必须发誓保守秘密。但只要是真理，就有被发现的一天，它是藏不住的。 时至今日，根号二对我们来说已经是一个再平凡不过的记号了。
那话说回来，凭什么上文的断言就是真理呢？它为什么是真的呢？如果要论证一个怎样的分数存在，很简单，找出来就行了。但是要怎么论证不存在呢？找了很久都找不到并不说明问题，我们得用逻辑推理来证明！
上文断言的证明：
假设存在一个分数 m/n，其平方等于 2，其中 m，n都是自然数。显然，可以不妨设它们不全都是偶数，否则可约去公因子 2。#自助餐你会吃多少##名人##宠物日常#
注意到右边是一个偶数，于是 m 的平方是一个偶数，那么 m 必然也是一个偶数，设 m = 2k。于是
同理，这又表明 n 是一个偶数。于是，m 和 n 都是偶数，与它们不都为偶数
矛盾，故假设错误，不存在这样的分数。
这是一段流传千古的证明，精彩，漂亮。要知道为什么这个证明震撼并摧毁了毕达哥拉斯学派，我们继续探究：
说这个方程无解没有人会反对，但边长为一米的正方形可是实实在在看得见摸得着地存在的，它的对角线长度就是一个平方等于二的量！可我们证明了它不可能是分数，说好的万物皆数呢？！
洞察：我们周遭物理世界的几何性质逼迫我们不得不承认存在一个量其平方等于二。
现代数学告诉我们存在着无穷无尽种几何（geometry），有些于其中成立毕达哥拉斯定理，有些不成立。
前者被称为平坦的（flat），后者被称为弯曲的（curved）。现代宇宙学一个很大的课题便是回答我们的宇宙到底是平坦的还是弯曲的。诚然我们在地球上的测量显示直角三角形两边平方和的确等于斜边的平方，但那未必不是由于测量误差导致的，换上精度更高的尺子可能会发现实际上二者并不相等，这样一来毕达哥拉斯信仰的分数说不定就够用了！
但无论如何，在平坦的几何中，分数肯定是不够的，根号二是存在的。据笔者所知，如今的各种实验基本都表明我们的宇宙是平坦的。
说了这么多，无非就想说明一件事——根号二的确存在。
你可能会说，如果没有根号二，地球不照样转，我们的日子不也照样过吗？其实不然，至少在遥远的古希腊，有一群人的日子会过不好。
那是公元前 500 年前后，在爱琴海周边有一群有闲的智者，他们不事生产，终日思考宇宙的本质、生命的意义等各种大问题，毕达哥拉斯（Pythagoras）就是其中一员。
他及其门徒们认为“万物皆数”，即世间万物的和谐都能用数字来解释与描述。比如，当琴弦长度成简单整数比的时候，发出的和音最悦耳。
要注意，毕达哥拉斯他们所谈论的“数”，是如今所谓的自然数，即 1, 2, 3 这种我们打小会数的数。世间万物无外乎这些数以及它们的比例耳！这是一种信仰，支撑着毕达哥拉斯学派不断探索着自然。直到有一天，他们中的一员发现了一件不得了的事情。
这个发现来源于毕达哥拉斯学派另一个闻名于世的伟大成就，那就是西方所称的毕达哥拉斯定理（Pythagoras Theorem） ——也即我们的勾股定理：
若一个直角三角形的两直角边长度为 a 和 b，斜边长度为 c，那么：
如果我们画一个边长为 a = b = 1 的等腰直角三角形，按照上述公式一算，立马能得到
斜边长度的平方等于 2，这又咋了？
如果我是毕达哥拉斯，至此也不会怎样，估计会自言自语道：那就让我们来找到一个分数，其平方等于 2 呗！你可以试着找一找，或者相信我，很遗憾，这样的分数不存在。
断言：不存在一个分数，其平方等于2。（为了区别正式定义的数学中的“命题”与“定理”，我们称在直观理解下的一个或正确或错误的陈述为断言。）
正是这个断言，直接摧毁了毕达哥拉斯学派的整个信仰基础。
据说，发现这件事的学生被推入大海，其他门徒也必须发誓保守秘密。但只要是真理，就有被发现的一天，它是藏不住的。 时至今日，根号二对我们来说已经是一个再平凡不过的记号了。
那话说回来，凭什么上文的断言就是真理呢？它为什么是真的呢？如果要论证一个怎样的分数存在，很简单，找出来就行了。但是要怎么论证不存在呢？找了很久都找不到并不说明问题，我们得用逻辑推理来证明！
上文断言的证明：
假设存在一个分数 m/n，其平方等于 2，其中 m，n都是自然数。显然，可以不妨设它们不全都是偶数，否则可约去公因子 2。#自助餐你会吃多少##名人##宠物日常#
注意到右边是一个偶数，于是 m 的平方是一个偶数，那么 m 必然也是一个偶数，设 m = 2k。于是
同理，这又表明 n 是一个偶数。于是，m 和 n 都是偶数，与它们不都为偶数
矛盾，故假设错误，不存在这样的分数。
这是一段流传千古的证明，精彩，漂亮。要知道为什么这个证明震撼并摧毁了毕达哥拉斯学派，我们继续探究：
说这个方程无解没有人会反对，但边长为一米的正方形可是实实在在看得见摸得着地存在的，它的对角线长度就是一个平方等于二的量！可我们证明了它不可能是分数，说好的万物皆数呢？！
洞察：我们周遭物理世界的几何性质逼迫我们不得不承认存在一个量其平方等于二。
现代数学告诉我们存在着无穷无尽种几何（geometry），有些于其中成立毕达哥拉斯定理，有些不成立。
前者被称为平坦的（flat），后者被称为弯曲的（curved）。现代宇宙学一个很大的课题便是回答我们的宇宙到底是平坦的还是弯曲的。诚然我们在地球上的测量显示直角三角形两边平方和的确等于斜边的平方，但那未必不是由于测量误差导致的，换上精度更高的尺子可能会发现实际上二者并不相等，这样一来毕达哥拉斯信仰的分数说不定就够用了！
但无论如何，在平坦的几何中，分数肯定是不够的，根号二是存在的。据笔者所知，如今的各种实验基本都表明我们的宇宙是平坦的。
说了这么多，无非就想说明一件事——根号二的确存在。
在初中数学课程中，几何是一个重要部分，而其中勾股定理更是一项核心知识。为了帮助孩子们轻松掌握勾股定理，整理了一系列例题，让孩子们能够在几何考试中取得满分。
勾股定理指出，在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。简单来说，即a^2 + b^2 = c^2，其中a、b是直角边，c是斜边。接下来，通过以下实例帮助孩子们深入理解这一定理：
例题1：计算直角三角形的边长
给定直角三角形的两个直角边，如a=3和b=4，求斜边c。根据勾股定理，我们可以得到c^2 = a^2 + b^2，即c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25。因此，斜边c的长度为5。
例题2：判断三角形是否为直角三角形
给定三个边长，如a=5、b=12和c=13，判断它们是否能组成一个直角三角形。若满足勾股定理，即a^2 + b^2 = c^2，则可视为直角三角形。在这个例子中，5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2，故它们能组成一个直角三角形。
例题3：求直角三角形的高
给定一个直角三角形的底和斜边长度（如底边a=6，斜边c=10），求高b。由勾股定理可得b^2 = c^2 - a^2，因此b^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64。所以高b的长度为8。
例题4：求空间中距离
利用勾股定理计算空间中任意两点之间的距离。例如，已知空间中的两个点分别为A(1, 3, 6)和B(4, 6, 9)，计算两点间的距离。首先求出三轴上的距离差：Δx = 4 - 1 = 3，Δy = 6 - 3 = 3，Δz = 9 - 6 = 3。然后使用勾股定理迭代计算：设AB与xy平面上的C点构成一个直角三角形，则AC^2 + BC^2 = AB^2。依次计算得到：AC^2 = 3^2 + 3^2 = 18，BC^2 = Δz^2 = 3^2 = 9。最后，AB^2 = AC^2 + BC^2 = 18 + 9 = 27，所以AB的长度为根号27。
只要孩子们扎实掌握这些例题，就能熟练应用勾股定理解决各类几何问题。希望通过这篇文章，同学们可以深入理解勾股定理的奥妙，在数学考试中取得满分。让我们一起努力，帮助孩子们提高他们的数学成绩！#状元课堂笔记# https://t.cn/A69nkoef
勾股定理指出，在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。简单来说，即a^2 + b^2 = c^2，其中a、b是直角边，c是斜边。接下来，通过以下实例帮助孩子们深入理解这一定理：
例题1：计算直角三角形的边长
给定直角三角形的两个直角边，如a=3和b=4，求斜边c。根据勾股定理，我们可以得到c^2 = a^2 + b^2，即c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25。因此，斜边c的长度为5。
例题2：判断三角形是否为直角三角形
给定三个边长，如a=5、b=12和c=13，判断它们是否能组成一个直角三角形。若满足勾股定理，即a^2 + b^2 = c^2，则可视为直角三角形。在这个例子中，5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2，故它们能组成一个直角三角形。
例题3：求直角三角形的高
给定一个直角三角形的底和斜边长度（如底边a=6，斜边c=10），求高b。由勾股定理可得b^2 = c^2 - a^2，因此b^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64。所以高b的长度为8。
例题4：求空间中距离
利用勾股定理计算空间中任意两点之间的距离。例如，已知空间中的两个点分别为A(1, 3, 6)和B(4, 6, 9)，计算两点间的距离。首先求出三轴上的距离差：Δx = 4 - 1 = 3，Δy = 6 - 3 = 3，Δz = 9 - 6 = 3。然后使用勾股定理迭代计算：设AB与xy平面上的C点构成一个直角三角形，则AC^2 + BC^2 = AB^2。依次计算得到：AC^2 = 3^2 + 3^2 = 18，BC^2 = Δz^2 = 3^2 = 9。最后，AB^2 = AC^2 + BC^2 = 18 + 9 = 27，所以AB的长度为根号27。
只要孩子们扎实掌握这些例题，就能熟练应用勾股定理解决各类几何问题。希望通过这篇文章，同学们可以深入理解勾股定理的奥妙，在数学考试中取得满分。让我们一起努力，帮助孩子们提高他们的数学成绩！#状元课堂笔记# https://t.cn/A69nkoef
不定积分打卡第二天：T187～T228
错误题型：194 因为两处漏写 所以导致最后公式直接用错可见小错误导致后果严重
196看了半天反应不出来 但其实问题就出在根号上 三角代换运用不熟练
199类似于课上讲的题 虽然d前就出现了一个lnx 但是可以直接看做d前Ad后B 用分部积分法
205二倍角公式化简错了 1/2没平方
207 208一连两题题目抄错了 好绝 可能写晕了
213方法用的和鸽鸽讲的方法一样 但是因为是三角代换 最后没有换元回去。。。。痛定思痛！
216学的有点懵了 那这其实就是题型3 常数比一次的形式 回想也就用那两种arctan和ln 所以凑成他俩的形式就好了
220 多了1/2不知道为什么粗心吧明天再看#第二天打卡#
总结：
224sin平方x二倍角公式用错了 别太心急
至少五题是本该会的写错了
不熟练的在三角代换 分部积分法上面以及凑微分题型三的推广 加油
错误题型：194 因为两处漏写 所以导致最后公式直接用错可见小错误导致后果严重
196看了半天反应不出来 但其实问题就出在根号上 三角代换运用不熟练
199类似于课上讲的题 虽然d前就出现了一个lnx 但是可以直接看做d前Ad后B 用分部积分法
205二倍角公式化简错了 1/2没平方
207 208一连两题题目抄错了 好绝 可能写晕了
213方法用的和鸽鸽讲的方法一样 但是因为是三角代换 最后没有换元回去。。。。痛定思痛！
216学的有点懵了 那这其实就是题型3 常数比一次的形式 回想也就用那两种arctan和ln 所以凑成他俩的形式就好了
220 多了1/2不知道为什么粗心吧明天再看#第二天打卡#
总结：
224sin平方x二倍角公式用错了 别太心急
至少五题是本该会的写错了
不熟练的在三角代换 分部积分法上面以及凑微分题型三的推广 加油
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