【隨便瞎寫】E8與雜化弦理論，3D超引力，穩定格點模型，玻色可逆拓撲序和伊辛模型
提到E8，不僅是數學家們，可能無論是做高能理論甚至做凝聚態理論的人都不甚陌生。在著名的單李代數分類的工作裡，除了幾個經典的單李代數種類(sl,so,sp)，還有幾個例外的單李代數，包括e6,e7,e8,f4和g2。在這五個李代數中，e8又是較為特殊的一個，它的維數是其中最大的，有248維；其根系的秩為8，用240個根向量張成了R^8，因此也與8維的幾何，八元數息息相關，光是嘗試把其根系可視化（投影到3維空間），我們就有了图1這樣的多面體。不過先不論數學，E8在物理裡的應用在我的腦海里一直是廣泛而亂七八糟的。比如從很小開始，我就開始聽見諸如E8*E8雜化弦(heterotic string theory)這樣的名字，但直到如今我都不太會弦論。後來開始做拓撲序後，又了解到2d的玻色可逆拓撲序(spt)的非平凡部分由“E8模型”分類，再後來又陸陸續續聽說了一些別的應用，但我一直認為它們就這樣毫無征兆地散落在物理學的角落裡，就像它們作為例外孤零零地出現在單李代數的分類裡一樣，就像四部和聲規則一樣零散，人為而單調。不過今天我終於意識到，它們的出現就像四部和聲規則的出現一樣自然。
首先分別詳細解釋一下這些問題。首先是最常見的E8*E8 heterotic string。如图2，它出現在M理論對偶的一角。由於在弦論中，弦的左行和右行是解耦的，而我們可以構造這樣一個理論，讓左行被看成玻色弦在D=26維時空中的傳播，右行則視為D=10維中的超弦。這實際上給出兩種可能的理論，一種的規範群是SO(32)，另一個的規範群就是E8*E8。這幾乎是我對雜化弦的所有了解。
3D超引力的情況和上面的情況很像，我們可以構造兩種3D超引力理論，一種是有SO(8,n)的全局超對稱性的理論，這裡n是任意正整數，物理上就對應了8n個標量場和8n個旋量場。另一個就是具有E8的全局對稱性的理論，其中有128個玻色子和128個費米子按照E8的子群SO(16)變換。不過值得一提的是，懶惰的物理學家嘗嘗不區分“E8”的含義，而實際上這個情況和上一個情況中的E8是不同的。當一個物理學家說“E8”的時候有幾種可能的情況：
（1）E8的根系，它有240個格點，其3維投影如图1所示。
（2）E8格點，是由E8根系生成的R^8的子群。如图3所示。
（3）複李群，是GL(248,C)的單子群。
（4）實李群，split real E8，這個李群可以在任意域甚至任意概型上定義，其killing form的signature（即正本征值數-負本征值數）是8。
（5）實李群，compact real E8，它是複E8李群的最大緊子群。其killing form的signature為-248。
（6）實李群，所謂的quaternionic。其killing form的signature為-24。
在3d超引力的語境下，E8是split real E8，而雜化弦語境下E8則是compact real E8，而後面會提到的Ising的實驗驗證也是compact real E8。
隨後是玻色spt的分類。這個是我比較熟悉的結果，簡單來說就是2d的無對稱性玻色spt由E8的場論模型刻畫，即你用Chern-Simons理論寫出其拉氏量，前面的耦合常數換成所謂的K矩陣，這個K矩陣就是E8的cartan matrix。這也是玻色可逆拓撲序中唯一非平凡的情況。其分類空間是K(Z,4)*Z，這裡K(G,n)是Eilenberg–MacLane space，任何一個熟悉代數拓撲的人應該都久聞大名。
隨後是穩定格點構型。這個結果非常有意思，我剛知道不久。簡單來說，就是E8的格點的構型極其穩定，在8維和24維歐式空間中，如果有大量粒子，且勢能是U(r1, r2) = f(|r1-r2|)形式的相互作用，且f是單調函數，那麼能量最低的構型就是E8 lattice。注意這兩個維數，8與24，這與雜化弦的10與26有關就仿佛寫在臉上了。這也是我意識到不對的第一個征兆。這個結果看起來很有意思，表面上是物理但實際上是來源還是數學問題。一開始是眾所周知的密堆積問題，後來發展出了kissing number，再然後給出了leech lattice Λ24。其實此時已經和物理有關係了，R^24/Λ24和玻色弦的頂點算子代數（VOA）有關，這自然聯繫到了二維共形場論，我們先按下不表。
然後是Ising model。這個則是十年前較為有名的結果，即2010年science上一篇文章說實驗上用CoNb2O6“驗證了”自然界存在E8對稱性。這是怎麼回事呢？簡單來說CoNb2O6這個材料可以用1+1維z方向上有磁場微擾的量子伊辛模型刻畫，其哈密頓量如图4。在無微擾（即gz=0）的情況，這個1+1維的量子模型在gx=1時候，零溫時有相變，這是任何一個凝聚態物理學家都熟知的結果。此時相變點有標度不變性自然給出了一個共性場論，對應於中心荷c=1/2的極小模型，可以用Virasoro代數的表示序列構造。這個表示序列由兩個參數刻畫，一個是中心荷c，另一個是h，這裡2/(h+2)是物理量的conformal dimension。而這些表示的構造過程可以通過限制仿射李代數的表示實現，這裡仿射李代數就是一個緊李代數g的無窮維loop algebra的中心擴張，這被稱為coset constraction。而對於c=1/2的極小模型，我們有兩種g的選擇，一種是g=su(2)，另一種就是g=e8。此時如果我們加上gz的磁場微擾，此時這個極小模型CFT可以用所謂的仿射盛和場論（Affine Toda Field Theory, ATFT）描述。其拉適量如图5給出，這裡2維實標量場phi從李代數g的嘉當子代數h中取值，(,)是李代數的Killing form，β是耦合常數，E是一個g*C中與其共軛交換的半單元素。此時，我們的李群有兩種選擇，一個是g=su(2)，此時對應的h=2，那麼算符的conformal dimension是1/2，任何一個學過共形場論的人都能立刻想到這對應了能量。此時，微擾就對應了零溫下溫度的微擾，這可以用最經典的Ising model的理論描繪。而g=e8的情況下，h=30，此時conformal dimension為1/16，這就是磁場，對應了加磁場的微擾論。而CoNb2O6自然對應了這樣一個體系。另外，這個體系形成的准粒子也對應於E8格點的同心圓（图3），也就是8種不同的准粒子。
到這裡聰明的讀者可能已經意識到怎麼回事了，罪魁禍首是魔群月光。E8來自月光，這是一段著名的公案。考慮SL(2,Z)的模函數j，展開我們有
j^{1/3}=q^{-1/3}(1 + 248 q + 4124 q^2 + 34752 q^3 + ... )
這裡4124 = 3875 + 248 + 1，34 752 = 30 80 + 3875 + 2 · 248 + 1，而248, 3875和30380正是複李群E8的所有不可約表示的維數。與此同時，月光的各種函數和模形式作為cft的一圈振幅出現，同時月光的各種代數結構作為共形場論的潛在對稱性存在，其graded dimensions正是不同的模函數，而魔群是在Leech lattice R^24/Λ24 上緊化的Z2 orbifold的自由玻色弦論的對稱群。這也是為什麼E8在物理的各個角落落葉生根，如图5。
不過其實我一直隱隱約約知道弦論和魔群月光的關係，只是卻不知道他們和統計也是一體的。為我的愚鈍，不學無術和不思進取懺悔。
提到E8，不僅是數學家們，可能無論是做高能理論甚至做凝聚態理論的人都不甚陌生。在著名的單李代數分類的工作裡，除了幾個經典的單李代數種類(sl,so,sp)，還有幾個例外的單李代數，包括e6,e7,e8,f4和g2。在這五個李代數中，e8又是較為特殊的一個，它的維數是其中最大的，有248維；其根系的秩為8，用240個根向量張成了R^8，因此也與8維的幾何，八元數息息相關，光是嘗試把其根系可視化（投影到3維空間），我們就有了图1這樣的多面體。不過先不論數學，E8在物理裡的應用在我的腦海里一直是廣泛而亂七八糟的。比如從很小開始，我就開始聽見諸如E8*E8雜化弦(heterotic string theory)這樣的名字，但直到如今我都不太會弦論。後來開始做拓撲序後，又了解到2d的玻色可逆拓撲序(spt)的非平凡部分由“E8模型”分類，再後來又陸陸續續聽說了一些別的應用，但我一直認為它們就這樣毫無征兆地散落在物理學的角落裡，就像它們作為例外孤零零地出現在單李代數的分類裡一樣，就像四部和聲規則一樣零散，人為而單調。不過今天我終於意識到，它們的出現就像四部和聲規則的出現一樣自然。
首先分別詳細解釋一下這些問題。首先是最常見的E8*E8 heterotic string。如图2，它出現在M理論對偶的一角。由於在弦論中，弦的左行和右行是解耦的，而我們可以構造這樣一個理論，讓左行被看成玻色弦在D=26維時空中的傳播，右行則視為D=10維中的超弦。這實際上給出兩種可能的理論，一種的規範群是SO(32)，另一個的規範群就是E8*E8。這幾乎是我對雜化弦的所有了解。
3D超引力的情況和上面的情況很像，我們可以構造兩種3D超引力理論，一種是有SO(8,n)的全局超對稱性的理論，這裡n是任意正整數，物理上就對應了8n個標量場和8n個旋量場。另一個就是具有E8的全局對稱性的理論，其中有128個玻色子和128個費米子按照E8的子群SO(16)變換。不過值得一提的是，懶惰的物理學家嘗嘗不區分“E8”的含義，而實際上這個情況和上一個情況中的E8是不同的。當一個物理學家說“E8”的時候有幾種可能的情況：
（1）E8的根系，它有240個格點，其3維投影如图1所示。
（2）E8格點，是由E8根系生成的R^8的子群。如图3所示。
（3）複李群，是GL(248,C)的單子群。
（4）實李群，split real E8，這個李群可以在任意域甚至任意概型上定義，其killing form的signature（即正本征值數-負本征值數）是8。
（5）實李群，compact real E8，它是複E8李群的最大緊子群。其killing form的signature為-248。
（6）實李群，所謂的quaternionic。其killing form的signature為-24。
在3d超引力的語境下，E8是split real E8，而雜化弦語境下E8則是compact real E8，而後面會提到的Ising的實驗驗證也是compact real E8。
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到這裡聰明的讀者可能已經意識到怎麼回事了，罪魁禍首是魔群月光。E8來自月光，這是一段著名的公案。考慮SL(2,Z)的模函數j，展開我們有
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這裡4124 = 3875 + 248 + 1，34 752 = 30 80 + 3875 + 2 · 248 + 1，而248, 3875和30380正是複李群E8的所有不可約表示的維數。與此同時，月光的各種函數和模形式作為cft的一圈振幅出現，同時月光的各種代數結構作為共形場論的潛在對稱性存在，其graded dimensions正是不同的模函數，而魔群是在Leech lattice R^24/Λ24 上緊化的Z2 orbifold的自由玻色弦論的對稱群。這也是為什麼E8在物理的各個角落落葉生根，如图5。
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今天坐下扫码点餐后才看见本科同学吴飞燕给我的微信，她前老板招财务经理，我问她什么要求？她回复那句“工作排山倒海”真的笑到我[允悲]，本人以前的工作有些是量大有些是量少[笑cry]，量大的就真的好成就我啊[笑cry]，不过那只是年轻时[笑cry]，现在我可不这么想[笑cry]。
想起说是物流是很多很多年前四海小学四年级转学过来的同学陈焕容有一年说她朋友公司招财务，她给了手机让我打过去问，结果对方没有接电话，后来她又说问我家房子有没有出租？她帮小学同学朱素霞的妈妈租房住，朱素霞以前说是嫁了后就在以前我本科的华南农业大学附近买了房子，而那附近我后来才知以前舅舅邱继平家东边的陶庄59号的骆zǐ萍当时在113中读高中，我回复陈焕容说我家的房都租完了，我说让我妈帮问一下我舅舅邱继平，结果我后来问我妈说舅舅家的两大栋房子都租完了。
想起陈焕容我是加了她微信，好多年前见她微信晒她跟她老公在太古仓吃饭的照片，后来说是生了个女儿，当时有电话祝贺她，她当时说她老公是农业银行的，说当时她住芳村，后来见她晒出国旅游的照片，说是给她哥哥和弟弟看在白云区开的婴幼用品店，好像后来没见她再晒过她老公了。
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