有关质数的两个有名猜想(2)——孪生素数猜想
我给这个科普系列起名 #素数不是吃素的#是因为
第一,因为素数的定义很简单,小学四年级的学生就能理解。
第二,有关素数的著名猜想,孪生素数猜想提出两千多年了,哥德巴赫猜想也有几百年了,至今都未完全解决。
第三,由素数相关猜想引发的数学家们的故事,充满了传奇色彩。
有关哥德巴赫猜想的故事,请看【有关质数的两个有名猜想之一——哥德巴赫猜想】https://t.cn/A6tqKDqu。
今天我来讲讲孪生素数猜想的故事。在上一篇文章中,我们观察过1~1000 的素数表,发现,20以内的素数占1~20 的40%, 100以内的素数有25个,占1~100的25%, 1000以内的素数有168个,占16.8%。随着整数越来越大,素数越来越稀少了! 100万以内,素数只占7.85%!
关于素数在整数中的分布规律,数学家高斯和勒让德猜测,大不于N的整数中素数的个数可以用公式 N/lnN 近似(ln N称为 N的自然对数,随着N的增加,ln N也会越来越大)。这个猜想在提出大约一百年后被证明。因此,在不大于N的整数中,素数的比例大约为 1/ln N 。随着N的不断增加,这个比例不断缩小,越来越接近0.
如果把素数比喻成绿豆,其他整数比喻成红豆。想象一下,按照自然数的大小顺序,把这些豆子排成队,每两个绿豆出现的间隔会不会越来越大?例如第113颗豆子是绿豆(素数),下一个绿豆要在这之后第14个豆子时才出现,第359783颗豆子是绿豆(素数),下一个绿豆要在这之后第54个豆子时(359837)才出现。
我们随便截取素数表里的大于2的连续素数观察一下:
3 5 7 111317192329
这一组素数,相邻两个素数的差最小是2,最大是6;
7379838997101 103 107 109
这一组素数,相邻两个素数的差最小是2,最大是8;
9013 9029 9041 9043 9049 9059 9067 9091 9103 9109
这一组素数,相邻两个素数的差最小是2,最大是24;
26993270112701727031270432705927061270672707327077
这一组素数,相邻两个素数的差最小是4,最大是18;
358859 358861 358867 358877 358879 358901 358903 358907 358909 358931
这一组素数,相邻两个素数的差最小是2,最大是22。
我们发现上述表中,两个相邻素数的差,最小是2。这个最小差,并没有随着数字的变大而增大。
也就是说,如果玩上述的绿豆红豆游戏,随着数字的变大,有时候一个绿豆之后要等很久才能轮到下一个绿豆,但有时候只需要再放一个红豆就又轮到绿豆了!
像 3和5、 101和103、 9041和9043、 338859和338861 这样相差为2的素数对就像双胞胎一样,所以数学家把他们称为孪生素数(twin prime)。
欧几里得猜测,像3和5这样差为2的素数对,有无穷多对。
自欧几里得首次提出孪生素数猜想已经过去了两千多年,但数学家一直没有找到证明这个猜想的办法。 1900年,大数学家希尔伯特在巴黎数学家大会上做报告,提出了20世纪最重要的23个数学问题,把黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数猜想一同列入了第八个问题——素数问题。
基于孪生素数猜想,数学家波尼亚克还提出了一个更一般的猜想:
给定任意的偶数2k,相差为2k的素数有无穷多对。
这个猜想如果也成立,那么,
像 7 和11、 13和17 这样相差4的素数对(表兄弟素数对)有无限多个;
像13和19、23和29 这样相差6的素数对有无限多个;
…………
随便给一个偶数102,相差102的素数对也有无限多个。
我们跑个题,请大家思考一下,为什么相差都是偶数?有没有相差为奇数的素数对?如果没有,为什么?如果有,有多少对,为什么?
直到2013年4月,数学家张益唐先生在论文《质数间的有界间隔》中证明了相差7000万的素数对有无穷多个。
这一结果具有里程碑式的意义,它是一个从无穷到有限的重大突破。我记得当时很多的数学家都评论说张益唐先生的结论,相当于把大海捞针缩小为小池塘捞针。其实我觉得这一比喻不够精确,因为大海虽然大,但总归是有限的。
在这篇论文之前,有关相邻素数距离的结论是猜想,猜想就有可能是错的。如果猜想是错的,就意味着:随着整数不断增大,相邻两个素数间的距离会越来越大,我们目前还没观察到,只是因为人类算力有限,还没有算到那个现象而已。
这篇论文之后,我们可以相信,即使整数不断增大,总会源源不断涌现出相差7000万的素数对,那么相邻两个素数的差就不会越来越大。 所以,即使人类算力有限,观察到的素数也有限,我们也可以很确定的下结论:相邻素数间的距离,并不会越来越大。因此,这篇论文对于我们认识和解决孪生素数猜想具有划时代的、决定性的意义。
张益唐的论文出版后,整个数学界震惊了,一方面是这个成果实在太重大了;另一方面是,张益唐在当时并不是功成名就的著名数学家,他的人生跌宕起伏,极富传奇色彩。
他年少得志,1978年考入北大,硕士毕业赴美留学攻读博士学位,然而毕业即失业,最潦倒的时候在快餐店当服务员,后来经北大校友推荐在美国新罕布什尔大学谋得一个临时讲师教职,然后在知天命的年龄攻克千年数学难题。
扫地僧证明了千年数学难题,这太具有传奇色彩了。张先生的故事如果拍成电影,一定不输演绎纳什的《美丽心灵》和演绎霍金的《万物理论》,真期待某一天我国的电影公司能投拍他的故事。
最后,我用张先生在某次采访中引用的一句杜甫的诗结束本文:
“庾信生平最萧瑟,暮年诗赋动江关”。
#数学启蒙# #几何原本[超话]#
我给这个科普系列起名 #素数不是吃素的#是因为
第一,因为素数的定义很简单,小学四年级的学生就能理解。
第二,有关素数的著名猜想,孪生素数猜想提出两千多年了,哥德巴赫猜想也有几百年了,至今都未完全解决。
第三,由素数相关猜想引发的数学家们的故事,充满了传奇色彩。
有关哥德巴赫猜想的故事,请看【有关质数的两个有名猜想之一——哥德巴赫猜想】https://t.cn/A6tqKDqu。
今天我来讲讲孪生素数猜想的故事。在上一篇文章中,我们观察过1~1000 的素数表,发现,20以内的素数占1~20 的40%, 100以内的素数有25个,占1~100的25%, 1000以内的素数有168个,占16.8%。随着整数越来越大,素数越来越稀少了! 100万以内,素数只占7.85%!
关于素数在整数中的分布规律,数学家高斯和勒让德猜测,大不于N的整数中素数的个数可以用公式 N/lnN 近似(ln N称为 N的自然对数,随着N的增加,ln N也会越来越大)。这个猜想在提出大约一百年后被证明。因此,在不大于N的整数中,素数的比例大约为 1/ln N 。随着N的不断增加,这个比例不断缩小,越来越接近0.
如果把素数比喻成绿豆,其他整数比喻成红豆。想象一下,按照自然数的大小顺序,把这些豆子排成队,每两个绿豆出现的间隔会不会越来越大?例如第113颗豆子是绿豆(素数),下一个绿豆要在这之后第14个豆子时才出现,第359783颗豆子是绿豆(素数),下一个绿豆要在这之后第54个豆子时(359837)才出现。
我们随便截取素数表里的大于2的连续素数观察一下:
3 5 7 111317192329
这一组素数,相邻两个素数的差最小是2,最大是6;
7379838997101 103 107 109
这一组素数,相邻两个素数的差最小是2,最大是8;
9013 9029 9041 9043 9049 9059 9067 9091 9103 9109
这一组素数,相邻两个素数的差最小是2,最大是24;
26993270112701727031270432705927061270672707327077
这一组素数,相邻两个素数的差最小是4,最大是18;
358859 358861 358867 358877 358879 358901 358903 358907 358909 358931
这一组素数,相邻两个素数的差最小是2,最大是22。
我们发现上述表中,两个相邻素数的差,最小是2。这个最小差,并没有随着数字的变大而增大。
也就是说,如果玩上述的绿豆红豆游戏,随着数字的变大,有时候一个绿豆之后要等很久才能轮到下一个绿豆,但有时候只需要再放一个红豆就又轮到绿豆了!
像 3和5、 101和103、 9041和9043、 338859和338861 这样相差为2的素数对就像双胞胎一样,所以数学家把他们称为孪生素数(twin prime)。
欧几里得猜测,像3和5这样差为2的素数对,有无穷多对。
自欧几里得首次提出孪生素数猜想已经过去了两千多年,但数学家一直没有找到证明这个猜想的办法。 1900年,大数学家希尔伯特在巴黎数学家大会上做报告,提出了20世纪最重要的23个数学问题,把黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数猜想一同列入了第八个问题——素数问题。
基于孪生素数猜想,数学家波尼亚克还提出了一个更一般的猜想:
给定任意的偶数2k,相差为2k的素数有无穷多对。
这个猜想如果也成立,那么,
像 7 和11、 13和17 这样相差4的素数对(表兄弟素数对)有无限多个;
像13和19、23和29 这样相差6的素数对有无限多个;
…………
随便给一个偶数102,相差102的素数对也有无限多个。
我们跑个题,请大家思考一下,为什么相差都是偶数?有没有相差为奇数的素数对?如果没有,为什么?如果有,有多少对,为什么?
直到2013年4月,数学家张益唐先生在论文《质数间的有界间隔》中证明了相差7000万的素数对有无穷多个。
这一结果具有里程碑式的意义,它是一个从无穷到有限的重大突破。我记得当时很多的数学家都评论说张益唐先生的结论,相当于把大海捞针缩小为小池塘捞针。其实我觉得这一比喻不够精确,因为大海虽然大,但总归是有限的。
在这篇论文之前,有关相邻素数距离的结论是猜想,猜想就有可能是错的。如果猜想是错的,就意味着:随着整数不断增大,相邻两个素数间的距离会越来越大,我们目前还没观察到,只是因为人类算力有限,还没有算到那个现象而已。
这篇论文之后,我们可以相信,即使整数不断增大,总会源源不断涌现出相差7000万的素数对,那么相邻两个素数的差就不会越来越大。 所以,即使人类算力有限,观察到的素数也有限,我们也可以很确定的下结论:相邻素数间的距离,并不会越来越大。因此,这篇论文对于我们认识和解决孪生素数猜想具有划时代的、决定性的意义。
张益唐的论文出版后,整个数学界震惊了,一方面是这个成果实在太重大了;另一方面是,张益唐在当时并不是功成名就的著名数学家,他的人生跌宕起伏,极富传奇色彩。
他年少得志,1978年考入北大,硕士毕业赴美留学攻读博士学位,然而毕业即失业,最潦倒的时候在快餐店当服务员,后来经北大校友推荐在美国新罕布什尔大学谋得一个临时讲师教职,然后在知天命的年龄攻克千年数学难题。
扫地僧证明了千年数学难题,这太具有传奇色彩了。张先生的故事如果拍成电影,一定不输演绎纳什的《美丽心灵》和演绎霍金的《万物理论》,真期待某一天我国的电影公司能投拍他的故事。
最后,我用张先生在某次采访中引用的一句杜甫的诗结束本文:
“庾信生平最萧瑟,暮年诗赋动江关”。
#数学启蒙# #几何原本[超话]#
去年同样的日子,于我而言照旧没有情人节,北京下了很大的雪,是个特殊但并不美好的日子。于是我不顾疫情期间的禁令,冒着回京隔离未满14天可能回不了小区的风险溜出去送温暖,我把它定义为“生死之交”。真心换来辜负恐怕是我一直以来的意难平,后知后觉 不过是自我感动罢了。
何谓放下?就是对一个人无动于衷,不关注不留恋不讨厌不生气不记恨不遗憾,但凡有其中一种情绪都是不及格,新的一年,奔赴光明,如此甚好
何谓放下?就是对一个人无动于衷,不关注不留恋不讨厌不生气不记恨不遗憾,但凡有其中一种情绪都是不及格,新的一年,奔赴光明,如此甚好
#全优top丁程鑫[超话]#✨ #丁程鑫 十九岁不被定义的S#
jf (指路hui)
天下皆知美之为美,斯恶已。 皆知善之为善,斯不善已。有无相生,难易相成,长短相形 ,高下相盈,音声相和,前后相随。恒也。是以圣人处无为之事, 行不言之教;万物作而弗始,生而弗有,为而弗恃,功成而不居。夫唯弗居,是以不去。
jf (指路hui)
天下皆知美之为美,斯恶已。 皆知善之为善,斯不善已。有无相生,难易相成,长短相形 ,高下相盈,音声相和,前后相随。恒也。是以圣人处无为之事, 行不言之教;万物作而弗始,生而弗有,为而弗恃,功成而不居。夫唯弗居,是以不去。
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