#科学出版社# #科学社书摘# 数学真理的限制条件——《数学真理困境与当代数学实在论研究》
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一直以来，对数学真理本质的探询始终是数学哲学研究的主要动力。1973 年贝纳塞拉夫发表了题为“数学真理”的论文，他在文中提出了人们关于数学真理性的探讨所遇到的困境。在他看来，数学真理性问题的核心仍然是数学真理的本质概念问题，它依赖于我们在数学中怎样恰当地解释真理，还依赖于我们如何认识数学知识。对于“什么是数学的真理”这一问题的回答，完全依赖于人们对数学真理的不同解释，依赖于对数学认识的不同解释。这些解释源自两种截然不同的考虑：“①想要有一种齐一的语义学理论，关于数学命题的语义学与关于语言中其余部分的语义学并行不悖；②想要使数学真理的解释与一种合理的认识论紧密地吻合。”按照他的观点，几乎所有关于数学真理概念的解释，都可被看作奉行这两种考虑中的某一个，而舍弃了另一个。
贝纳塞拉夫坚信，必定有一种适当的解释能够满足上述这两种考虑，然而在他看来，对数学以内和数学以外的真理和认识都做出解释的任何一揽子的语义学和认识论不能同时满足上述两种考虑。数学实在论认为数学与其他的科学一样，都是客观存在的，是不依赖于人脑的意识而存在的。他们以类似的方法处理数学和非数学论述的真理解释，坚持数学命题应该与其他科学语言具有同一的语义学解释。由此所要付出的代价是：无法说明我们如何获得关于数学的知识；而数学反实在论所提供的真理解释强调数学真理必须具有合理的认识论意义，提出把我们能够清楚地知道其存在的种种真值条件归之于数学命题的真理解释，但所付出的代价是不能说明把这些真值条件如何成为语句的真值条件。作为关于数学知识的两种截然不同的理论，每一种解释都是只满足上述条件之一，而必然以放弃另外一个条件为代价，这一两难境地被人们称为“数学真理困境”。
*数学真理的两个限制条件*
虽然贝纳塞拉夫在文章中是以数学真理理论提出他的观点，但实际上他所要真正阐明的是全面的哲学观点。在他看来，“作为一种全面的观点，它是不能令人满意的—倒不是因为我们缺乏一种看上去令人满意的关于数学真理的解释，或者因为我们缺乏一种看上去令人满意的关于数学知识的解释，而是因为我们缺乏令人满意地将二者结合起来的任何解释”。他本人没有提供这样的一种解释，但他为一个合理的数学真理解释提出了应满足的条件。
*语义学限制*
语义学限制是指关于数学命题与一般科学命题想要有一种齐一的语义学理论，关于数学命题的语义学与关于语言中其余部分的语义学并行不悖。这一条件直接涉及真理的概念，即要求有一种关于真理的全面的理论，依据这种理论，可以确认数学真理的解释确实是数学真理的解释。这种解释应当蕴涵数学命题的真值条件，这些条件显然是这些数学命题的真理的条件，而不单是它们在某个形式系统中的定理身份的条件。当然这并不是否认，成为某个系统的一个定理，可以是一个给定命题或一类给定命题的真值条件。这不仅是要求任何把定理身份作为一种真值条件提供出来的理论，同时也要求说明真理和定理身份之间的联系。也就是说，要求任何有关数学真理的理论应当与一种一般的真理理论相符合，这种一般的真理理论能够确认被称为“真理”的诸语句的属性确实是真理。在贝纳塞拉夫看来，只有把科学语言和数学语言作为一个整体来理解才有可能提供上述一般的真理理论。这就要求我们对包括数学和科学在内的所有名称、单称词、谓词以及量词都提供一致的语义解释。
在此基础上，贝纳塞拉夫进一步提出满足条件一的只有一种真理解释—塔斯基真理理论。塔斯基真理理论的基本特征是，在对语言进行一种特定的句法语义分析的基础上依据指称（或满足）去定义真理。塔斯基从区分对象语言与元语言出发，提出如下著名的语义学定义：
“雪是白的”是真的，当且仅当，雪是白的。
即我们得到“雪是白的”这一经验事实，以此作为充要条件，才可使“‘雪是白的’是真的”，“雪是白的”这个句子表达的内容是真实的。也就是说，科学真理和事实之间有一种对应关系。塔斯基的定义确立了绝对的、客观的真理符合论。贝纳塞拉夫认为，对数学真理的任何假定的分析也必定是对至少在塔斯基意义上的一个真理概念的概念分析。这是因为依照塔斯基的真理定义理解的各个数学理论的真值定义将具有与用于经验科学理论同样的递归分句。也就是说，如果我们把数学语言和经验科学语言全都看作同一种语言的各部分，就能够为这种语言提供对量词的单一解释，而不管所研究的是哪一个分支学科。数学语言与经验科学语言就逻辑语法而言不会有所区别。其主要优点在于：在不那么深奥而较易于处理的领域中我们所使用的逻辑语法理论，对于数学仍然适用。我们只需采用一种一致的解释即可，而不必给数学发明另一种解释。
贝纳塞拉夫进一步指出，塔斯基真理理论为我们提供了关于真理的唯一可行的、系统性的一般解释。在他看来，选用这种真理理论所带来的后果是经济的，因为一旦逻辑关系服从于同一的处理，这些关系就不因题材而变。逻辑关系帮助定义“题材”的概念，塔斯基真理理论可以利用相同的一些推理规则，并对应用这些规则的推理过程进行说明，从而避免了双重标准。如果拒绝这种理论，数学推理就将需要一种新的、专门的解释。事实上，量词推理的标准用法是通过某种可靠性证明被确认为合理的。要想证实一阶逻辑中理论形式化的合理性，就要求确保前提的所有逻辑推论都能被推出并作为定理出现。贝纳塞拉夫认为塔斯基真理理论能够提供这种保证。
*认识论限制*
认识论限制是指想要使数学真理的解释与一种合理的认识论紧密地吻合。贝纳塞拉夫认为，关于数学合理说明的全面观点的第二个条件应预设我们具有数学知识，并且这样的知识正是数学上的。既然我们的知识是关于真理的，那么一个关于数学真理的解释要成为可接受的，就必须与具有数学知识的可能性相一致。这不是要论证不会存在不可知的真理，而只是要论证并非所有的真理都是不可知的，因为我们显然知道某些真理。于是他认为，“最低限度的要求是，关于数学真理的一个令人满意的解释一定要与某些这样的真理应当是可知的这一可能性相一致”。也就是说，在明确数学真理的概念之后，必须使之与一种关于认识的全面解释相适合，以阐明我们如何获得我们所具有的数学知识。对于数学来说，一种可接受的语义学必须与一种可接受的认识论相适合。贝纳塞拉夫对此作了举例说明，指出如果有人知道克利夫兰在纽约和芝加哥之间，那是因为这个陈述的真值条件与他目前的“主观”信念状态之间存在着某种关系。不论我们对真理和认识的解释可能是什么，它们必定以这种方式彼此联结在一起。在数学中亦是如此，对于数学命题p，使p为真的条件与我们对p的信念必定有可能被联结起来。
在认识论理论的选择上，贝纳塞拉夫赞成对知识的因果解释。依照这种解释，对于X来说，要知道S为真，就要求在X与S的名称、谓词和量词的关系前项之间得出某种因果关系。此外，贝纳塞拉夫承认关于指称的因果理论，这与他试图说明的S具有双重因果关系联结起来了，即我要知道“桌子上有个杯子”这个陈述为真，就需要在我和语词“杯子”的指称对象杯子之间有某种因果联结。
他把知识因果论当作最好的科学认识论，即如果X要知道p，必须满足的条件之一是，X的信念p和引起X相信这个信念为真的事实p之间应该有一种适当的因果关系。换句话讲，事实p是引起X相信p为真的原因。在他看来，作为对我们关于科学知识的解释，是沿着正确的路线进行的。比如关于中等大小对象的知识的解释，在因果关系上只涉及对这些对象本身的直接指称。在这种认识论解释下，科学知识呈现出最清晰且最易处理的状态。由于数学知识与科学知识之间显然存在着某种相互依存的关系，因而我们也应该用这种因果认识论来解释数学知识。在此基础上，贝纳塞拉夫提出，应该用因果认识论来说明关于一般规律和理论的全部知识。不难看出，因果认识论显然遵循了经验主义者的路线。
总之，贝纳塞拉夫认为所有的知识都是用p去确定其恰当证据的可能范围。我们应该用自己对X的认识去确定是否会存在一种适当的相互作用，目前X是否相信p是以一种适当的方式与只有p为真才出现的情形处于因果联系中，是否他的证据是从p所确定的范围中取得的。如果不然，那么X就不可能认识p。当p为真时必定会出现的情形与构成X的信念的原因之间必定存在某些关联，尽管这些关联可能具有不同的表现形式，但必定会存在某种关联把对X构成信念的根据与p的题材联系在一起。在p的真值条件与p被称为已知的根据之间，确立一种适当的关联必须是可能的。
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本文摘编自《数学真理困境与当代数学实在论研究》，标题和内容有调整。
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一直以来，对数学真理本质的探询始终是数学哲学研究的主要动力。1973 年贝纳塞拉夫发表了题为“数学真理”的论文，他在文中提出了人们关于数学真理性的探讨所遇到的困境。在他看来，数学真理性问题的核心仍然是数学真理的本质概念问题，它依赖于我们在数学中怎样恰当地解释真理，还依赖于我们如何认识数学知识。对于“什么是数学的真理”这一问题的回答，完全依赖于人们对数学真理的不同解释，依赖于对数学认识的不同解释。这些解释源自两种截然不同的考虑：“①想要有一种齐一的语义学理论，关于数学命题的语义学与关于语言中其余部分的语义学并行不悖；②想要使数学真理的解释与一种合理的认识论紧密地吻合。”按照他的观点，几乎所有关于数学真理概念的解释，都可被看作奉行这两种考虑中的某一个，而舍弃了另一个。
贝纳塞拉夫坚信，必定有一种适当的解释能够满足上述这两种考虑，然而在他看来，对数学以内和数学以外的真理和认识都做出解释的任何一揽子的语义学和认识论不能同时满足上述两种考虑。数学实在论认为数学与其他的科学一样，都是客观存在的，是不依赖于人脑的意识而存在的。他们以类似的方法处理数学和非数学论述的真理解释，坚持数学命题应该与其他科学语言具有同一的语义学解释。由此所要付出的代价是：无法说明我们如何获得关于数学的知识；而数学反实在论所提供的真理解释强调数学真理必须具有合理的认识论意义，提出把我们能够清楚地知道其存在的种种真值条件归之于数学命题的真理解释，但所付出的代价是不能说明把这些真值条件如何成为语句的真值条件。作为关于数学知识的两种截然不同的理论，每一种解释都是只满足上述条件之一，而必然以放弃另外一个条件为代价，这一两难境地被人们称为“数学真理困境”。
*数学真理的两个限制条件*
虽然贝纳塞拉夫在文章中是以数学真理理论提出他的观点，但实际上他所要真正阐明的是全面的哲学观点。在他看来，“作为一种全面的观点，它是不能令人满意的—倒不是因为我们缺乏一种看上去令人满意的关于数学真理的解释，或者因为我们缺乏一种看上去令人满意的关于数学知识的解释，而是因为我们缺乏令人满意地将二者结合起来的任何解释”。他本人没有提供这样的一种解释，但他为一个合理的数学真理解释提出了应满足的条件。
*语义学限制*
语义学限制是指关于数学命题与一般科学命题想要有一种齐一的语义学理论，关于数学命题的语义学与关于语言中其余部分的语义学并行不悖。这一条件直接涉及真理的概念，即要求有一种关于真理的全面的理论，依据这种理论，可以确认数学真理的解释确实是数学真理的解释。这种解释应当蕴涵数学命题的真值条件，这些条件显然是这些数学命题的真理的条件，而不单是它们在某个形式系统中的定理身份的条件。当然这并不是否认，成为某个系统的一个定理，可以是一个给定命题或一类给定命题的真值条件。这不仅是要求任何把定理身份作为一种真值条件提供出来的理论，同时也要求说明真理和定理身份之间的联系。也就是说，要求任何有关数学真理的理论应当与一种一般的真理理论相符合，这种一般的真理理论能够确认被称为“真理”的诸语句的属性确实是真理。在贝纳塞拉夫看来，只有把科学语言和数学语言作为一个整体来理解才有可能提供上述一般的真理理论。这就要求我们对包括数学和科学在内的所有名称、单称词、谓词以及量词都提供一致的语义解释。
在此基础上，贝纳塞拉夫进一步提出满足条件一的只有一种真理解释—塔斯基真理理论。塔斯基真理理论的基本特征是，在对语言进行一种特定的句法语义分析的基础上依据指称（或满足）去定义真理。塔斯基从区分对象语言与元语言出发，提出如下著名的语义学定义：
“雪是白的”是真的，当且仅当，雪是白的。
即我们得到“雪是白的”这一经验事实，以此作为充要条件，才可使“‘雪是白的’是真的”，“雪是白的”这个句子表达的内容是真实的。也就是说，科学真理和事实之间有一种对应关系。塔斯基的定义确立了绝对的、客观的真理符合论。贝纳塞拉夫认为，对数学真理的任何假定的分析也必定是对至少在塔斯基意义上的一个真理概念的概念分析。这是因为依照塔斯基的真理定义理解的各个数学理论的真值定义将具有与用于经验科学理论同样的递归分句。也就是说，如果我们把数学语言和经验科学语言全都看作同一种语言的各部分，就能够为这种语言提供对量词的单一解释，而不管所研究的是哪一个分支学科。数学语言与经验科学语言就逻辑语法而言不会有所区别。其主要优点在于：在不那么深奥而较易于处理的领域中我们所使用的逻辑语法理论，对于数学仍然适用。我们只需采用一种一致的解释即可，而不必给数学发明另一种解释。
贝纳塞拉夫进一步指出，塔斯基真理理论为我们提供了关于真理的唯一可行的、系统性的一般解释。在他看来，选用这种真理理论所带来的后果是经济的，因为一旦逻辑关系服从于同一的处理，这些关系就不因题材而变。逻辑关系帮助定义“题材”的概念，塔斯基真理理论可以利用相同的一些推理规则，并对应用这些规则的推理过程进行说明，从而避免了双重标准。如果拒绝这种理论，数学推理就将需要一种新的、专门的解释。事实上，量词推理的标准用法是通过某种可靠性证明被确认为合理的。要想证实一阶逻辑中理论形式化的合理性，就要求确保前提的所有逻辑推论都能被推出并作为定理出现。贝纳塞拉夫认为塔斯基真理理论能够提供这种保证。
*认识论限制*
认识论限制是指想要使数学真理的解释与一种合理的认识论紧密地吻合。贝纳塞拉夫认为，关于数学合理说明的全面观点的第二个条件应预设我们具有数学知识，并且这样的知识正是数学上的。既然我们的知识是关于真理的，那么一个关于数学真理的解释要成为可接受的，就必须与具有数学知识的可能性相一致。这不是要论证不会存在不可知的真理，而只是要论证并非所有的真理都是不可知的，因为我们显然知道某些真理。于是他认为，“最低限度的要求是，关于数学真理的一个令人满意的解释一定要与某些这样的真理应当是可知的这一可能性相一致”。也就是说，在明确数学真理的概念之后，必须使之与一种关于认识的全面解释相适合，以阐明我们如何获得我们所具有的数学知识。对于数学来说，一种可接受的语义学必须与一种可接受的认识论相适合。贝纳塞拉夫对此作了举例说明，指出如果有人知道克利夫兰在纽约和芝加哥之间，那是因为这个陈述的真值条件与他目前的“主观”信念状态之间存在着某种关系。不论我们对真理和认识的解释可能是什么，它们必定以这种方式彼此联结在一起。在数学中亦是如此，对于数学命题p，使p为真的条件与我们对p的信念必定有可能被联结起来。
在认识论理论的选择上，贝纳塞拉夫赞成对知识的因果解释。依照这种解释，对于X来说，要知道S为真，就要求在X与S的名称、谓词和量词的关系前项之间得出某种因果关系。此外，贝纳塞拉夫承认关于指称的因果理论，这与他试图说明的S具有双重因果关系联结起来了，即我要知道“桌子上有个杯子”这个陈述为真，就需要在我和语词“杯子”的指称对象杯子之间有某种因果联结。
他把知识因果论当作最好的科学认识论，即如果X要知道p，必须满足的条件之一是，X的信念p和引起X相信这个信念为真的事实p之间应该有一种适当的因果关系。换句话讲，事实p是引起X相信p为真的原因。在他看来，作为对我们关于科学知识的解释，是沿着正确的路线进行的。比如关于中等大小对象的知识的解释，在因果关系上只涉及对这些对象本身的直接指称。在这种认识论解释下，科学知识呈现出最清晰且最易处理的状态。由于数学知识与科学知识之间显然存在着某种相互依存的关系，因而我们也应该用这种因果认识论来解释数学知识。在此基础上，贝纳塞拉夫提出，应该用因果认识论来说明关于一般规律和理论的全部知识。不难看出，因果认识论显然遵循了经验主义者的路线。
总之，贝纳塞拉夫认为所有的知识都是用p去确定其恰当证据的可能范围。我们应该用自己对X的认识去确定是否会存在一种适当的相互作用，目前X是否相信p是以一种适当的方式与只有p为真才出现的情形处于因果联系中，是否他的证据是从p所确定的范围中取得的。如果不然，那么X就不可能认识p。当p为真时必定会出现的情形与构成X的信念的原因之间必定存在某些关联，尽管这些关联可能具有不同的表现形式，但必定会存在某种关联把对X构成信念的根据与p的题材联系在一起。在p的真值条件与p被称为已知的根据之间，确立一种适当的关联必须是可能的。
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本文摘编自《数学真理困境与当代数学实在论研究》，标题和内容有调整。
根管治疗过程中的急性发作包括约诊间痛和根充后发应。尽管治疗过程的操作十分仔细，术后的疼痛和肿胀有时候也是不可避免和不能预测的。绝大多数的术后反应为轻度不适（40％），约25％的病例会出现中重度疼痛，2％～4％出现急性发作。术后反应和患者的状况、牙髓和根周组织的状况和治疗步骤有关。术前存在疼痛和肿胀、牙髓坏死或者急性根尖周炎的病例，更有可能出现急性发作。使用长效麻醉剂、完善根管成形和清洁、给予镇痛剂以及让患者有心理上的准备能有效减低约诊间痛的程度。因此，术后叮嘱患者可能出现疼痛的情况、程度和持续时间是十分必要。预防性使用抗菌素减轻术后疼痛作用不大而且没有必要，但对存在感染或有系统性疾病的患者，应在内科医生指导下使用抗菌素。急性根尖症状出现或脓肿形成应将髓腔开放或切开引流。轻中度疼痛可以服用阿司匹林和布洛芬类药物；中重度疼痛可服用布洛芬和可待因类，一般不使用激素类药物，此外，长效局部麻醉剂的使用也是有助于延缓根管治疗重的疼痛。
根管治疗过程中的急性发作包括约诊间痛和根充后发应。尽管治疗过程的操作十分仔细，术后的疼痛和肿胀有时候也是不可避免和不能预测的。绝大多数的术后反应为轻度不适(40%)，约25%的病例会出现中重度疼痛，2%～4%出现急性发作。术后反应和患者的状况、牙髓和根周组织的状况和治疗步骤有关。术前存在疼痛和肿胀、牙髓坏死或者急性根尖周炎的病例，更有可能出现急性发作。使用长效麻醉剂、完善根管成形和清洁、给予镇痛剂以及让患者有心理上的准备能有效减低约诊间痛的程度。因此，术后叮嘱患者可能出现疼痛的情况、程度和持续时间是十分必要。预防性使用抗菌素减轻术后疼痛作用不大而且没有必要，但对存在感染或有系统性疾病的患者，应在内科医生指导下使用抗菌素。急性根尖症状出现或脓肿形成应将髓腔开放或切开引流。轻中度疼痛可以服用阿司匹林和布洛芬类药物;中重度疼痛可服用布洛芬和可待因类，一般不使用激素类药物，此外，长效局部麻醉剂的使用也是有助于延缓根管治疗重的疼痛。
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