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思想的光辉
格罗滕迪克"收获和播种"
格罗滕迪克"收获和播种"法文版于2021年正式出版，其中最精辟的部分是第18章第5节。他是在灵魂的颤栗和悸动中挥笔写就这一章的，读者应能感受到他的激情的脉动。作者没有办法在不给出公式的情况下阐明其理念。。尽管公式比较简明，但是其思想博大精深，因此在翻译上不容易把握。格罗滕迪克在本文中呈现的思想的光辉是显而易见的。
Mebkhout的双重对偶定理在某种程度上构成善神定理(对于∞-模)的"一半"，当这个定理以其最强形式被采用时，它肯定函子(8)是互为拟逆。这是Mebkhout于1980年1月提交的论文的核心结果。不仅如此，甚至这"一半"本身已经是一个全新的结果并完全出乎意料。它是一个经典的结果，连接佐藤的想法和我的想法。它符合我的长期计划—以"连续"或"微分"方式(及从派生范畴的角度)制定"离散系数"。我认为这个结果以其精神和灵感完全避开日本分析学派的问题。数学家柏原的可构造性定理似乎表示"靠近它"，而绝不是新的系数e理论的起点。正如1976年至1980年期间出版的那样毫无疑问，Mebkhout是当时唯一一个发展出这种哲学的人。
1978年1月，Mebkhout谈到他在柏原途经巴黎的结果，当时他刚写完论文。在柏原的请求下，坦率的Mebkhout很高兴终于找到一个似乎对他要说的话感兴趣的人，把他送到普林斯顿的热门第三章—所谓的"双对偶"定理，那是在1978年2月。三年后，同样的结果出现在Mebkhout的一篇著名文章 - 693(*)中。它被重新命名为"重建定理"且丝毫没有提到某个Zoghman Mebkhout。这也是Pervers Colloquium令人难忘的一年—某种"新风格"—694(**)正面征服(并且没有遇到丝毫阻力...)的光辉之年，在这部分数学的创建中，我有似曾相似的亲切感觉...
(c)第五张照片(在"pro"中)(5月21日)"双对偶定理"(9)是1977年的。为了证明∞-Modules的"善神定理"的另一半，因此相当于证明函子δ∞本质上为满射，第一个困难在于证明：对于Cons∗中的F，根据第一个公式定义∞-Modules C = Δ_{∞}(F)的复数(8)，它能通过函子 i获得，至少在X的局部使用-Modules的复向量(完整和正则)获得。在先验上，根据Mebkhout的想法(即遵循善神双重定理)，它暗示(5)中的函子i是等价的，后者必须是唯一的，直到唯一的拟同构。
我没有试图理解Mebkhout最终如何在其论文中成功构建这个-Module的。我认为这里的情形必须通过使用与可构造ℂ-vectorials F - 695(*)集束相关的前相干(pro-集束的德利涅概念来澄清。这个想法是他在上的代数簇的背景下发展起来的，但必须能在可能对或的每个紧凑体上"局部"工作的条件下进行必要修改以适应分析情况。与F相关的前相干层(pro-coherent sheaf)，因此(至少在的每个紧集K上)是相干层(定义在K的邻域中)的射影系统(Fi)，能很简单地定义为前表示函子。
G ⟼ Hom_{ℂ}(F, G);
在(K附近...)上的相干O_{}-Modules G的范畴上，该函子在保持精确的情况下确实是前表示的。例如，如果 F是的封闭解析子空间Y上的常数层C_{Y}、在所有上"由零扩展"，那么我们发现由Y在中的O_{Xn}个无穷小邻域形成的前层(NB La这个射影系统的射影极限是沿Y的 O_{}的正式完成)。我们注意到(回到一般情况)前层(Fi)配备规范分层 - 696(**)。德利涅持如下观点："德利涅的函子"来自上的可构造C(复)向量滑轮的范畴，对于分层的前连贯层的范畴，它是完全忠实的，因此能根据分层前相干层范畴的完整子范畴解释第一个范畴(超越性性质)。后者具有纯粹的代数意义，并且能用纯粹的代数术语定义所讨论的完整子范畴(或多或少重言式*))。这是我要注意的范畴：
DRD*() 或 Del*() , (10);
这构成了我昨天不想解释的"第五张照片"- 698(**)。此外，我似乎还记得，德利涅费竭尽全力把他的解释(及前面完全忠实的陈述)发展成派生范畴(当时我还没有一致决定)上同调的学生，以德利涅为首，还没有决定要否定后者)，当然，它确实是我用符号(10)指定的“派生范畴”版本。
换言之，RHom_{C}(F,O_{}) 中的"代数部分"必须能以很自然的方式定义为RHom_{O_{}}的归纳极限(在适当的意义上)((Fi, O_{}) - 特别是(传递给上同调层)，我们把规范箭头描述如下。
lim_{i} Ext^d_{O_{X}(Fi, O_{}) → Ext^d_{O_{}}), (11)
通过使用前对象(Fi)的分层和第二个参数O_{}的重言式分层，我们必须能在(11)的第一个成员上定义一个分层—即-Module的结构，因此(11)与算子环的同态(对应 → ∞)兼容。换言之，必须能澄清Mebkhout的善神定理，通过说(11)确定∞-Moule的第二个成员通过标量的扩展从第一个推导出来 - 699(*) - 这特别意味着箭头是一个包含关系。因此，左边的成员必须被可视化为一种"代数"或"亚纯"部分在右成员中(具有"超越"性质)。
在前面的特定示例F = I*(C_{Y}) 上，一般情况变得相当清楚，其中i : Y → 包含的封闭分析子空间。接着(11)的右侧是一束局部上同调，在y中具有支撑，其中y是一个超越不变量，而第一个成员是我在示意图框架中为局部上同调引入的众所周知的表达式。这个丛在点x ∈ Y 处的纤维只不过是局部上同调，在结构丛O的谱Xx上，在x上的Y的"迹"Yx 中有支撑。
lim_{n→} 分机^d_{O_{}_{n}}, O_{}}};
这个实例显示德利涅的想法与我在1960年代早期就局部上同调主题发展起来的想法有多么接近 - 700(**)。尽管如此，Mebkhout在1972~1976年间工作的主题正是在这个关键案例中研究箭头(11)。
lim_{n→} Ext^d_{O_{}n}, }} =(定义) H^d_{Y} (O_{}})_{alg} → H^d_{Y}(O_{ }})，(12);
在这种情形下，它证明上面宣布的关系，并且比(12)-Module的第一个成员(我之前在陈述中省略的内容)模相关、甚至是完整的和正则的。从那里开始，(11)的类似陈述必须是旋开 - 701(**)的直接结果(包括F不是可构造的C向量的一个丛，而是Cons*( , C)中复数情形。除了德利涅函子的形状构造之外，del的唯一颗粒是在分层亲模复合体的Homs_{O_{}}}的定义中，其值在复合体中分层模块，即在-Modules的复合体中(在这种情况下O_{}})，作为-Modules的复合体(以及作为派生范畴的对象)。
对这粒盐(指上述颗粒)取模，我们找到对"代数"善神函子M(与"超越"善神函子M∞相反)的非常简单和概念性的描述，或更确切地说，通过复述(8)的双公式描述相关的反函子Δ及其拟逆 δ。然而，为了编写它，这里使用德利涅的等价性，我们宁愿查看DRD*()和DRM*()之间的对应函子Δ^和δ^，其中符号^应提醒我们要在前对象上工作(在"可构造"方面)。接着，我们找到一个非平凡的公式(它在概念上包含在(8)中，但这次把"代数性质"的系数相互联系起来，这也是通过"代数性质"的公式实现的):
∆ = MD = DM, δ = mD = Dm, (13)
Del: Cons*(, C) →(≈) ERD*(), (14)
∆ˆ(C′) = RHOm_{O_{X}} (C′, O_{}),
δˆ(C′) = RHOm_{O_{}} (C′, O_{}), (15)
因此，我们在这里有两次"相同"的公式，唯一的区别是C'在这里是分层的前相干集束的复数(或等同于 - 702(*)，模前相干晶体的复数)，而C是-Modules的复数(它在概念上可作为O_{}本质上相同函子的复数，从一个到另一个，即"对偶函子普通"(连续)，显而易见，它是我50年代的老朋友…，当然，这个必须交换前对象和ind对象(即使这意味着要达到后者的归纳极限…)。
当然，还有一项基础工作要做以便为这些公式赋予精确的含义，德利涅在其著名的凿沉研讨会上所做的工作，或Jouanolou在其著名的论文中所做的那种类型的工作也被凿沉(每个人都引用，自Colloque Pervers以来，没有人掌握在他的手中...这是一部作品，我敢肯定，它可能会有点长，但本质上是"sorital"。"困难"部分包含在Mebkhout的善神定理中，辅以 Mebkhout(8)的公式，称为"对偶性"公式。另一方面，它们的代数转换，确认两个函子(15)互为拟逆，它从概念上讲是O_{} 一致系数的"普通对偶定理"，放入ind-pro酱汁中，并以分层作为键(在对偶函子中必须"通过"而没有问题)。
就微分算子的复数而言，这两种类型的对偶对象之间的对应关系被完美地可视化(不涉及任何基础工作)。此外，在这种对偶中，完整条件(更何况规律性条件)不起作用。在这样的复数L处，昨天考虑的函子F ⟼ Hom_{O_{}}(F, Dd)(逆变)把-Modules的复数与有限类型C。另一方面，这个复数L的"形式化"，传递到无限阶P∞(L^i)的主要部分(被认为是分层的前模)产生一个复数C' = P ∞(L^i)的分层pro-modules。换言之，我们看到这两个复数对应于公式(15)，其中，RHom显然简化为Hom(只需逐项验证分量L^i的对偶项，接着它减少或多或少的重言式事实，即"连续"线性同态P∞(L^i) → O_{}与线性同态L^i → 完全对应于微分算子 L^i → O_{ }，分别使用"万能"微分算子(无限阶)L^i → P∞(L^i)及由θ ⟼ θ(1)给出的"l"增加 → O_{})。至少在上，Cris*_{coh}()的任何对象(即具有相干上同调的-Modules的任何复数)都能使用微分算子L·的复数描述，我们可认为对于所有实际目的，在对C和C'做出适当的-一致性和"-pro-consistency"假设的条件下，这种特殊情形完美地掌握两种范畴系数之间的对偶性(15)，彼此互为对偶。因此，它发展为我提到的"sorite"就足够，把我们自己限制在C'或"pro"方面，仅限于前相干丛的复数P∞(L·)，分层可在局部作为拟近同构)进行描述。
与德利涅的原始方法相比，他介绍的前相干复模能通过微分算子的复数局部实现，而且是Mebkhout理论带来的完全出乎意料的现象。在我看来，关于集束的D相干性HY^d(O_{ })_{alg}(出现在上述的(12)中)是一个深刻的定理，它是四年来工作的结晶，并使用了解决Hironaka奇点的所有力量，更不用说识别和证明它的创作者的勇气，从而反击业界普遍的冷漠。结果 - 我刚刚宣布的703(*)是德拉姆系数(例如我从1966年看到的)和微分算子复数之间的深层关系，这是我从未设想过的关系。当开发出第一种方法处理德拉姆关系时，德利涅也没有想到。至于考虑的微分算子复形上的完整正则条件，它必须等价于(后验，感谢善神定理)德利涅的"有限性"(加上"正则性")条件。我之前省略了其解释，通过引入范畴DRD*() = Del*())如下： P∞(L·)的上同调的前层通过组合序列在局部"拧开"，这样连续的因子能通过C-的系统前提描述(通过德利涅函子)的子空间Y - Z上的向量(其中Z ⊂ Y ⊂ 是的封闭解析子空间)。为完成给这个标准一个"代数"方面，只需在Y - Z上用分层的相干层替换C向量的局部系统就足够，条件是表示分层的连接(请注意可假设Y - Z平滑)或Z附近的"正则"，在德利涅-704(**)的意义上。请注意: 相关的前集束是通过在T的无穷小邻域上生长Y−Z = T上的晶体获得的，并通过沿Z的"压碎"，在任何地方都有连贯的丛(bundle)，而不仅仅是在补集Z上…
格罗滕迪克"收获和播种"
格罗滕迪克"收获和播种"法文版于2021年正式出版，其中最精辟的部分是第18章第5节。他是在灵魂的颤栗和悸动中挥笔写就这一章的，读者应能感受到他的激情的脉动。作者没有办法在不给出公式的情况下阐明其理念。。尽管公式比较简明，但是其思想博大精深，因此在翻译上不容易把握。格罗滕迪克在本文中呈现的思想的光辉是显而易见的。
Mebkhout的双重对偶定理在某种程度上构成善神定理(对于∞-模)的"一半"，当这个定理以其最强形式被采用时，它肯定函子(8)是互为拟逆。这是Mebkhout于1980年1月提交的论文的核心结果。不仅如此，甚至这"一半"本身已经是一个全新的结果并完全出乎意料。它是一个经典的结果，连接佐藤的想法和我的想法。它符合我的长期计划—以"连续"或"微分"方式(及从派生范畴的角度)制定"离散系数"。我认为这个结果以其精神和灵感完全避开日本分析学派的问题。数学家柏原的可构造性定理似乎表示"靠近它"，而绝不是新的系数e理论的起点。正如1976年至1980年期间出版的那样毫无疑问，Mebkhout是当时唯一一个发展出这种哲学的人。
1978年1月，Mebkhout谈到他在柏原途经巴黎的结果，当时他刚写完论文。在柏原的请求下，坦率的Mebkhout很高兴终于找到一个似乎对他要说的话感兴趣的人，把他送到普林斯顿的热门第三章—所谓的"双对偶"定理，那是在1978年2月。三年后，同样的结果出现在Mebkhout的一篇著名文章 - 693(*)中。它被重新命名为"重建定理"且丝毫没有提到某个Zoghman Mebkhout。这也是Pervers Colloquium令人难忘的一年—某种"新风格"—694(**)正面征服(并且没有遇到丝毫阻力...)的光辉之年，在这部分数学的创建中，我有似曾相似的亲切感觉...
(c)第五张照片(在"pro"中)(5月21日)"双对偶定理"(9)是1977年的。为了证明∞-Modules的"善神定理"的另一半，因此相当于证明函子δ∞本质上为满射，第一个困难在于证明：对于Cons∗中的F，根据第一个公式定义∞-Modules C = Δ_{∞}(F)的复数(8)，它能通过函子 i获得，至少在X的局部使用-Modules的复向量(完整和正则)获得。在先验上，根据Mebkhout的想法(即遵循善神双重定理)，它暗示(5)中的函子i是等价的，后者必须是唯一的，直到唯一的拟同构。
我没有试图理解Mebkhout最终如何在其论文中成功构建这个-Module的。我认为这里的情形必须通过使用与可构造ℂ-vectorials F - 695(*)集束相关的前相干(pro-集束的德利涅概念来澄清。这个想法是他在上的代数簇的背景下发展起来的，但必须能在可能对或的每个紧凑体上"局部"工作的条件下进行必要修改以适应分析情况。与F相关的前相干层(pro-coherent sheaf)，因此(至少在的每个紧集K上)是相干层(定义在K的邻域中)的射影系统(Fi)，能很简单地定义为前表示函子。
G ⟼ Hom_{ℂ}(F, G);
在(K附近...)上的相干O_{}-Modules G的范畴上，该函子在保持精确的情况下确实是前表示的。例如，如果 F是的封闭解析子空间Y上的常数层C_{Y}、在所有上"由零扩展"，那么我们发现由Y在中的O_{Xn}个无穷小邻域形成的前层(NB La这个射影系统的射影极限是沿Y的 O_{}的正式完成)。我们注意到(回到一般情况)前层(Fi)配备规范分层 - 696(**)。德利涅持如下观点："德利涅的函子"来自上的可构造C(复)向量滑轮的范畴，对于分层的前连贯层的范畴，它是完全忠实的，因此能根据分层前相干层范畴的完整子范畴解释第一个范畴(超越性性质)。后者具有纯粹的代数意义，并且能用纯粹的代数术语定义所讨论的完整子范畴(或多或少重言式*))。这是我要注意的范畴：
DRD*() 或 Del*() , (10);
这构成了我昨天不想解释的"第五张照片"- 698(**)。此外，我似乎还记得，德利涅费竭尽全力把他的解释(及前面完全忠实的陈述)发展成派生范畴(当时我还没有一致决定)上同调的学生，以德利涅为首，还没有决定要否定后者)，当然，它确实是我用符号(10)指定的“派生范畴”版本。
换言之，RHom_{C}(F,O_{}) 中的"代数部分"必须能以很自然的方式定义为RHom_{O_{}}的归纳极限(在适当的意义上)((Fi, O_{}) - 特别是(传递给上同调层)，我们把规范箭头描述如下。
lim_{i} Ext^d_{O_{X}(Fi, O_{}) → Ext^d_{O_{}}), (11)
通过使用前对象(Fi)的分层和第二个参数O_{}的重言式分层，我们必须能在(11)的第一个成员上定义一个分层—即-Module的结构，因此(11)与算子环的同态(对应 → ∞)兼容。换言之，必须能澄清Mebkhout的善神定理，通过说(11)确定∞-Moule的第二个成员通过标量的扩展从第一个推导出来 - 699(*) - 这特别意味着箭头是一个包含关系。因此，左边的成员必须被可视化为一种"代数"或"亚纯"部分在右成员中(具有"超越"性质)。
在前面的特定示例F = I*(C_{Y}) 上，一般情况变得相当清楚，其中i : Y → 包含的封闭分析子空间。接着(11)的右侧是一束局部上同调，在y中具有支撑，其中y是一个超越不变量，而第一个成员是我在示意图框架中为局部上同调引入的众所周知的表达式。这个丛在点x ∈ Y 处的纤维只不过是局部上同调，在结构丛O的谱Xx上，在x上的Y的"迹"Yx 中有支撑。
lim_{n→} 分机^d_{O_{}_{n}}, O_{}}};
这个实例显示德利涅的想法与我在1960年代早期就局部上同调主题发展起来的想法有多么接近 - 700(**)。尽管如此，Mebkhout在1972~1976年间工作的主题正是在这个关键案例中研究箭头(11)。
lim_{n→} Ext^d_{O_{}n}, }} =(定义) H^d_{Y} (O_{}})_{alg} → H^d_{Y}(O_{ }})，(12);
在这种情形下，它证明上面宣布的关系，并且比(12)-Module的第一个成员(我之前在陈述中省略的内容)模相关、甚至是完整的和正则的。从那里开始，(11)的类似陈述必须是旋开 - 701(**)的直接结果(包括F不是可构造的C向量的一个丛，而是Cons*( , C)中复数情形。除了德利涅函子的形状构造之外，del的唯一颗粒是在分层亲模复合体的Homs_{O_{}}}的定义中，其值在复合体中分层模块，即在-Modules的复合体中(在这种情况下O_{}})，作为-Modules的复合体(以及作为派生范畴的对象)。
对这粒盐(指上述颗粒)取模，我们找到对"代数"善神函子M(与"超越"善神函子M∞相反)的非常简单和概念性的描述，或更确切地说，通过复述(8)的双公式描述相关的反函子Δ及其拟逆 δ。然而，为了编写它，这里使用德利涅的等价性，我们宁愿查看DRD*()和DRM*()之间的对应函子Δ^和δ^，其中符号^应提醒我们要在前对象上工作(在"可构造"方面)。接着，我们找到一个非平凡的公式(它在概念上包含在(8)中，但这次把"代数性质"的系数相互联系起来，这也是通过"代数性质"的公式实现的):
∆ = MD = DM, δ = mD = Dm, (13)
Del: Cons*(, C) →(≈) ERD*(), (14)
∆ˆ(C′) = RHOm_{O_{X}} (C′, O_{}),
δˆ(C′) = RHOm_{O_{}} (C′, O_{}), (15)
因此，我们在这里有两次"相同"的公式，唯一的区别是C'在这里是分层的前相干集束的复数(或等同于 - 702(*)，模前相干晶体的复数)，而C是-Modules的复数(它在概念上可作为O_{}本质上相同函子的复数，从一个到另一个，即"对偶函子普通"(连续)，显而易见，它是我50年代的老朋友…，当然，这个必须交换前对象和ind对象(即使这意味着要达到后者的归纳极限…)。
当然，还有一项基础工作要做以便为这些公式赋予精确的含义，德利涅在其著名的凿沉研讨会上所做的工作，或Jouanolou在其著名的论文中所做的那种类型的工作也被凿沉(每个人都引用，自Colloque Pervers以来，没有人掌握在他的手中...这是一部作品，我敢肯定，它可能会有点长，但本质上是"sorital"。"困难"部分包含在Mebkhout的善神定理中，辅以 Mebkhout(8)的公式，称为"对偶性"公式。另一方面，它们的代数转换，确认两个函子(15)互为拟逆，它从概念上讲是O_{} 一致系数的"普通对偶定理"，放入ind-pro酱汁中，并以分层作为键(在对偶函子中必须"通过"而没有问题)。
就微分算子的复数而言，这两种类型的对偶对象之间的对应关系被完美地可视化(不涉及任何基础工作)。此外，在这种对偶中，完整条件(更何况规律性条件)不起作用。在这样的复数L处，昨天考虑的函子F ⟼ Hom_{O_{}}(F, Dd)(逆变)把-Modules的复数与有限类型C。另一方面，这个复数L的"形式化"，传递到无限阶P∞(L^i)的主要部分(被认为是分层的前模)产生一个复数C' = P ∞(L^i)的分层pro-modules。换言之，我们看到这两个复数对应于公式(15)，其中，RHom显然简化为Hom(只需逐项验证分量L^i的对偶项，接着它减少或多或少的重言式事实，即"连续"线性同态P∞(L^i) → O_{}与线性同态L^i → 完全对应于微分算子 L^i → O_{ }，分别使用"万能"微分算子(无限阶)L^i → P∞(L^i)及由θ ⟼ θ(1)给出的"l"增加 → O_{})。至少在上，Cris*_{coh}()的任何对象(即具有相干上同调的-Modules的任何复数)都能使用微分算子L·的复数描述，我们可认为对于所有实际目的，在对C和C'做出适当的-一致性和"-pro-consistency"假设的条件下，这种特殊情形完美地掌握两种范畴系数之间的对偶性(15)，彼此互为对偶。因此，它发展为我提到的"sorite"就足够，把我们自己限制在C'或"pro"方面，仅限于前相干丛的复数P∞(L·)，分层可在局部作为拟近同构)进行描述。
与德利涅的原始方法相比，他介绍的前相干复模能通过微分算子的复数局部实现，而且是Mebkhout理论带来的完全出乎意料的现象。在我看来，关于集束的D相干性HY^d(O_{ })_{alg}(出现在上述的(12)中)是一个深刻的定理，它是四年来工作的结晶，并使用了解决Hironaka奇点的所有力量，更不用说识别和证明它的创作者的勇气，从而反击业界普遍的冷漠。结果 - 我刚刚宣布的703(*)是德拉姆系数(例如我从1966年看到的)和微分算子复数之间的深层关系，这是我从未设想过的关系。当开发出第一种方法处理德拉姆关系时，德利涅也没有想到。至于考虑的微分算子复形上的完整正则条件，它必须等价于(后验，感谢善神定理)德利涅的"有限性"(加上"正则性")条件。我之前省略了其解释，通过引入范畴DRD*() = Del*())如下： P∞(L·)的上同调的前层通过组合序列在局部"拧开"，这样连续的因子能通过C-的系统前提描述(通过德利涅函子)的子空间Y - Z上的向量(其中Z ⊂ Y ⊂ 是的封闭解析子空间)。为完成给这个标准一个"代数"方面，只需在Y - Z上用分层的相干层替换C向量的局部系统就足够，条件是表示分层的连接(请注意可假设Y - Z平滑)或Z附近的"正则"，在德利涅-704(**)的意义上。请注意: 相关的前集束是通过在T的无穷小邻域上生长Y−Z = T上的晶体获得的，并通过沿Z的"压碎"，在任何地方都有连贯的丛(bundle)，而不仅仅是在补集Z上…
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