#业精于勤每日一题[超话]#每日一题20210820提示：
(1)今天我们来讨论一些特殊的一阶微分方程, 形式上它们和我们常见的三种基本类型的一阶微分方程不太一致。这类“非标准型”的一阶微分方程如果按照常规思路去求解会很困难, 需要通过适当的恒等变形转化为我们熟悉的“标准型”。
(2)①第1题：看似是齐次方程, 但是如果令y=ux, 计算将相当复杂, 不可取。此时应如何处理？
提示：y是x的函数, 同样x也是y的函数。同时注意本题在计算过程中还涉及一个恒等变形的技巧, 是真题曾经反复考察的内容。
②第2题：等式左边其实是d(xy), 再看看右边括号内的式子, 这里“换元法”的提示信息应该不难捕捉到。
(1)今天我们来讨论一些特殊的一阶微分方程, 形式上它们和我们常见的三种基本类型的一阶微分方程不太一致。这类“非标准型”的一阶微分方程如果按照常规思路去求解会很困难, 需要通过适当的恒等变形转化为我们熟悉的“标准型”。
(2)①第1题：看似是齐次方程, 但是如果令y=ux, 计算将相当复杂, 不可取。此时应如何处理？
提示：y是x的函数, 同样x也是y的函数。同时注意本题在计算过程中还涉及一个恒等变形的技巧, 是真题曾经反复考察的内容。
②第2题：等式左边其实是d(xy), 再看看右边括号内的式子, 这里“换元法”的提示信息应该不难捕捉到。
小学数学最易出错的26个易错点
1、单位问题：不要漏写单位
【相关例题】边长为 4 厘米的正方形，面积为
【错误答案】16
【正确答案】16 平方厘米
【例题评析】面积问题，结果算对了，但没有写该写的单位。
2、 单位问题：注意单位的一致
【相关例题】某种面粉袋上标有（25kg 加减 50g）的标记，这种面粉最重是 kg.
【错误答案】75
【正确答案】25.05
【例题评析】很多同学没有看到 kg 与 g 的单位不一致，直接给出了 75 的错误答案。
3、闰年，平年问题：不清楚闰年的概念
【相关例题】1900 年是闰年还是平年？
【错误答案】闰年
【正确答案】平年
【例题评析】四年一闰，百年不闰，四百年再闰。如果一个年份是 4 的倍数，则为闰年；否则是平年。但是如果是整百的年份（如 1900 年，2000 年），则必须为 400 的倍数才是闰年，否则为平年。
4、平均速度问题
【相关例题】小明上山速度为 1 米/秒，下山速度为 3 米/秒，则小明上下山的平均速度为
【错误答案】（1+3）÷2=2（米/秒）
【正确答案】设上山全程为 3 米，则平均速度为：（3×2）÷（3÷1+3÷3）=1.5（米/秒）
【例题评析】平均速度的定义为：总路程÷总时间
5、正方的面积与周长的比较
边长为 4cm 的正方形的面积和周长不！相！等！，虽然数值结果都是 16，但因为单位不同，所以 16 厘米≠16 平方厘米，这是无法比较的。
6、除和除以的区别
a 除以 b 或 a 被 b 除列式为：a÷b，a 除 b，或用 a 去除 b，列式为：b÷a
7、改写数的注意
改写一个准确数，不要求“四舍五入”取近似值时，一定要把“万”或“亿”后面的数写到小数部分；只有大约或省略 “万”或“亿”位后面的尾数时，才用“四舍五入”求近似值，末尾一定要写“万”或“亿”
8、大数读法：读几个 0 的问题
【相关例题】10,0070,0008 读几个 0？
【正确答案】2 个
【例题评析】大数的读法是四年级学的一个知识点，尤其是读几个零的问题，容易犯错。
9、 切忌半个人、半棵树
在求总人数、总只数、总棵树……的应用题时，结果不可能是分数和小数。
10、压路机前进后的相关计算
压路机滚动一周前进多少米？是求它的周长。压路机滚动一周压路的面积，就是求滚筒的侧面积。
11、半圆的周长≠圆周长的一半
这两个看似相同，实则不同，因为半圆的周长还多出一个直径。
12、“无盖”易算成“有盖”
无盖的水桶，水池，金鱼缸，水槽等求表面积时一定要减少一个底面积。
13、大数比小数大几分之几
（大数—小数）÷单位“1”的量。
14、绳子长短比较问题
两根同样长的绳子，一根剪去 1/2 米，另一根剪去 1/2，剩下的长度无法比较；
15、 余数商问题
0.52÷0.17 商是 3，余数不是 1 而是 0.01
16、百分比相关问题
求××率或百分之几的列式中，最后必须“×100%”
17、近似值问题
【相关例题】一个整数的近似数是 1 万，这个数最大是
【错误答案】9999
【正确答案】14999
【例题评析】四舍五入得出的近似值，不仅可能是“五入”得来的，还有可能是“四舍”得来的。
18、 数大小排序问题：注意题目要求的大小顺序
【相关例题】把 3.14，π，22/7 按照从大往小的顺序排列
【错误答案】3.14<π<22/7
【正确答案】22/7>π>3.14
【例题评析】题目怎么要求就怎么来，别瞎胡闹。并且一定要写原数排序。
19、 比例尺问题：注意面积的比例尺
【相关例题】在比例尺为 1:2000 的沙盘上，实际面积为 800000 平方米的生态公园为 平方米
【错误答案】400
【正确答案】0.2
【例题评析】很多同学直接用 800000÷2000，得出了错误答案。切记，比例尺=图上距离：实际距离，是长度的比例尺，即图上 1 长度单位是实际中的2000 长度单位。但是本题牵扯到面积，需要转化为面积的比例尺。需要把长度的比例尺平方，即图上 1 面积单位是实际中的 4000000 面积单位。
20、正反比例问题：未搞清正比例、反比例的含义
【相关例题】判断对错：圆的面积与半径成正比例
【错误答案】√
【正确答案】×
【例题评析】若两个量乘积是定值，则成反比；若两个量的商是定值，则成正比。严格卡定义，原题改为“圆的面积与半径的平方成正比”，才是正确的。
21、比的问题：注意前后项的顺序
【相关例题】一个正方形边长增加它的 1/3 后，则原正方形与新正方形面积的比为
【错误答案】16:9
【正确答案】9:16
【例题评析】谁是比的前项，谁是比的后项，一定要睁大眼睛看清楚！
22、比的问题：比与比值的区别
【相关例题】一个正方形边长增加它的 1/3 后，则原正方形与新正方形面积的比值为
【错误答案】9:16
【正确答案】9/16
【例题评析】比值是一个结果，是一个数。
23、解方程问题：括号前面是减号，去括号要变号！移项要变号！
【相关例题】6—2（2X—3）=4
【错误答案】其他
【正确答案】x=2
【例题评析】去括号，若括号前面是减号，要变号！移项（某个数在等号的两边左右移动）要变号，切记！
24、计算问题：牢记运算顺序
【相关例题】20÷7×1/7
【错误答案】20
【正确答案】20/49
【例题评析】计算题“去技巧化”趋势明显。重在对基本的分数四则运算、运算顺序以及提取公因数等计算基本功的考察。
25、题目有多种情况
【相关例题】等腰三角形一个角的度数是 50 度，则它的顶角是
【错误答案】80 度
【正确答案】50 度或 80 度
【例题评析】很多类型的题目，结果往往不止一个。同学们一定要注意思考的缜密性，平时做题时多总结，尽量把所有情况都想全。不要做出一个答案后，就以为大功告成。
26、注意表述的完整性
【相关例题】一个三角形的三个内角之比为 1:1:2，这是一个 三角形。
【错误答案】等腰三角形
【正确答案】等腰直角三角形
【例题评析】这种题目，只有平时训练时多思考，多总结，考试时才能保证不犯错误。
1、单位问题：不要漏写单位
【相关例题】边长为 4 厘米的正方形，面积为
【错误答案】16
【正确答案】16 平方厘米
【例题评析】面积问题，结果算对了，但没有写该写的单位。
2、 单位问题：注意单位的一致
【相关例题】某种面粉袋上标有（25kg 加减 50g）的标记，这种面粉最重是 kg.
【错误答案】75
【正确答案】25.05
【例题评析】很多同学没有看到 kg 与 g 的单位不一致，直接给出了 75 的错误答案。
3、闰年，平年问题：不清楚闰年的概念
【相关例题】1900 年是闰年还是平年？
【错误答案】闰年
【正确答案】平年
【例题评析】四年一闰，百年不闰，四百年再闰。如果一个年份是 4 的倍数，则为闰年；否则是平年。但是如果是整百的年份（如 1900 年，2000 年），则必须为 400 的倍数才是闰年，否则为平年。
4、平均速度问题
【相关例题】小明上山速度为 1 米/秒，下山速度为 3 米/秒，则小明上下山的平均速度为
【错误答案】（1+3）÷2=2（米/秒）
【正确答案】设上山全程为 3 米，则平均速度为：（3×2）÷（3÷1+3÷3）=1.5（米/秒）
【例题评析】平均速度的定义为：总路程÷总时间
5、正方的面积与周长的比较
边长为 4cm 的正方形的面积和周长不！相！等！，虽然数值结果都是 16，但因为单位不同，所以 16 厘米≠16 平方厘米，这是无法比较的。
6、除和除以的区别
a 除以 b 或 a 被 b 除列式为：a÷b，a 除 b，或用 a 去除 b，列式为：b÷a
7、改写数的注意
改写一个准确数，不要求“四舍五入”取近似值时，一定要把“万”或“亿”后面的数写到小数部分；只有大约或省略 “万”或“亿”位后面的尾数时，才用“四舍五入”求近似值，末尾一定要写“万”或“亿”
8、大数读法：读几个 0 的问题
【相关例题】10,0070,0008 读几个 0？
【正确答案】2 个
【例题评析】大数的读法是四年级学的一个知识点，尤其是读几个零的问题，容易犯错。
9、 切忌半个人、半棵树
在求总人数、总只数、总棵树……的应用题时，结果不可能是分数和小数。
10、压路机前进后的相关计算
压路机滚动一周前进多少米？是求它的周长。压路机滚动一周压路的面积，就是求滚筒的侧面积。
11、半圆的周长≠圆周长的一半
这两个看似相同，实则不同，因为半圆的周长还多出一个直径。
12、“无盖”易算成“有盖”
无盖的水桶，水池，金鱼缸，水槽等求表面积时一定要减少一个底面积。
13、大数比小数大几分之几
（大数—小数）÷单位“1”的量。
14、绳子长短比较问题
两根同样长的绳子，一根剪去 1/2 米，另一根剪去 1/2，剩下的长度无法比较；
15、 余数商问题
0.52÷0.17 商是 3，余数不是 1 而是 0.01
16、百分比相关问题
求××率或百分之几的列式中，最后必须“×100%”
17、近似值问题
【相关例题】一个整数的近似数是 1 万，这个数最大是
【错误答案】9999
【正确答案】14999
【例题评析】四舍五入得出的近似值，不仅可能是“五入”得来的，还有可能是“四舍”得来的。
18、 数大小排序问题：注意题目要求的大小顺序
【相关例题】把 3.14，π，22/7 按照从大往小的顺序排列
【错误答案】3.14<π<22/7
【正确答案】22/7>π>3.14
【例题评析】题目怎么要求就怎么来，别瞎胡闹。并且一定要写原数排序。
19、 比例尺问题：注意面积的比例尺
【相关例题】在比例尺为 1:2000 的沙盘上，实际面积为 800000 平方米的生态公园为 平方米
【错误答案】400
【正确答案】0.2
【例题评析】很多同学直接用 800000÷2000，得出了错误答案。切记，比例尺=图上距离：实际距离，是长度的比例尺，即图上 1 长度单位是实际中的2000 长度单位。但是本题牵扯到面积，需要转化为面积的比例尺。需要把长度的比例尺平方，即图上 1 面积单位是实际中的 4000000 面积单位。
20、正反比例问题：未搞清正比例、反比例的含义
【相关例题】判断对错：圆的面积与半径成正比例
【错误答案】√
【正确答案】×
【例题评析】若两个量乘积是定值，则成反比；若两个量的商是定值，则成正比。严格卡定义，原题改为“圆的面积与半径的平方成正比”，才是正确的。
21、比的问题：注意前后项的顺序
【相关例题】一个正方形边长增加它的 1/3 后，则原正方形与新正方形面积的比为
【错误答案】16:9
【正确答案】9:16
【例题评析】谁是比的前项，谁是比的后项，一定要睁大眼睛看清楚！
22、比的问题：比与比值的区别
【相关例题】一个正方形边长增加它的 1/3 后，则原正方形与新正方形面积的比值为
【错误答案】9:16
【正确答案】9/16
【例题评析】比值是一个结果，是一个数。
23、解方程问题：括号前面是减号，去括号要变号！移项要变号！
【相关例题】6—2（2X—3）=4
【错误答案】其他
【正确答案】x=2
【例题评析】去括号，若括号前面是减号，要变号！移项（某个数在等号的两边左右移动）要变号，切记！
24、计算问题：牢记运算顺序
【相关例题】20÷7×1/7
【错误答案】20
【正确答案】20/49
【例题评析】计算题“去技巧化”趋势明显。重在对基本的分数四则运算、运算顺序以及提取公因数等计算基本功的考察。
25、题目有多种情况
【相关例题】等腰三角形一个角的度数是 50 度，则它的顶角是
【错误答案】80 度
【正确答案】50 度或 80 度
【例题评析】很多类型的题目，结果往往不止一个。同学们一定要注意思考的缜密性，平时做题时多总结，尽量把所有情况都想全。不要做出一个答案后，就以为大功告成。
26、注意表述的完整性
【相关例题】一个三角形的三个内角之比为 1:1:2，这是一个 三角形。
【错误答案】等腰三角形
【正确答案】等腰直角三角形
【例题评析】这种题目，只有平时训练时多思考，多总结，考试时才能保证不犯错误。
#业精于勤每日一题[超话]#每日一题20200315提示：
“∞·0”型极限的基本解题思路是“下放∞或0到分母”, 转化为“0/0”或“∞/∞”型。
今天我们用一组经典的题目再深入讨论这类极限的求解。
第(1)题：
①第(i)问中, ∞部分已是最简形式, 关键是对括号内无穷小的处理, 这里其实是最基本的差函数等价无穷小。
②第(ii)问的主要问题依然是括号内无穷小的处理, 两个arctan相减不好处理, 怎么办？
提示：参考第(i)问做转化; 或Lagrange中值定理求极限, 注意这里辅助函数的选取对求解难度的影响。
第(2)题：
①第(i)问, 括号内的无穷小变成了更复杂的arctan, 刚才至少还是两个无穷小相减, 现在要怎么处理？
提示：利用三角函数恒等式转化为第(1)题第(ii)问的形式。
②第(ii)问, 注意这里是函数极限且x趋向于∞, 是否需要考虑双侧极限, 极限又是否存在？
“∞·0”型极限的基本解题思路是“下放∞或0到分母”, 转化为“0/0”或“∞/∞”型。
今天我们用一组经典的题目再深入讨论这类极限的求解。
第(1)题：
①第(i)问中, ∞部分已是最简形式, 关键是对括号内无穷小的处理, 这里其实是最基本的差函数等价无穷小。
②第(ii)问的主要问题依然是括号内无穷小的处理, 两个arctan相减不好处理, 怎么办？
提示：参考第(i)问做转化; 或Lagrange中值定理求极限, 注意这里辅助函数的选取对求解难度的影响。
第(2)题：
①第(i)问, 括号内的无穷小变成了更复杂的arctan, 刚才至少还是两个无穷小相减, 现在要怎么处理？
提示：利用三角函数恒等式转化为第(1)题第(ii)问的形式。
②第(ii)问, 注意这里是函数极限且x趋向于∞, 是否需要考虑双侧极限, 极限又是否存在？
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